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des Scifuces «îc Saint -Pëtepsboupg. 



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et de même 



q-l ij- 



7+1 7 + 1 



q(q-\){lq-b) 

 24 



q-l 



■qysr-^ 



2 



.(14) 



d'où, en additionnant ces deux équations, 



2-1 '2-1 



et par conséquent 



2k? = 



_ q(q-l){2q-l) 



6 



(q-l) {2q-\) 



'&M:^ym 



2B 



(16) 



Nous remarquerons en passant que cette dernière 

 formule exprime également la somme 31 des coëf- 

 ticiens de q, étendue à toutes les q — 1 équations 

 propres lî^ — ^q — r = , qui correspondent aux va- 

 leurs 1, 2, 3. ... 2 — 1 de if; en effet, l'addition de 

 ces 2 ■ — ^ 1 équations donne 



3-1 



Mq—2R = 0, 



1 



d'où 



j/=i;p.= 



u — 



2R_(r/-l) (2q- 



^'-f...(I7) 



On voit que ces formules contiennent une nouvelle 

 fonction numérique 2,E(—\ On peut aussi profiter de 

 la propriété caractéristique des racines primitives pour 

 parvenir à une autre expression de R. En effet, il est 

 visible qu'en l'eprésentant par g une des racines pri- 

 mitives d'un nombre premier quelconque, que nous 

 désignerons par q, on aura 



d'où 



et par conséquent 



■<J 



R = f(^^ 



9 



^E 



Q 



1 



9- 



VijA 



m = 1 



(IS) 





Voilà donc quatre fonctions numéri(|ues différentes 



^EVm, R = ^r, 2^1^(7) = ;^t^= M, 



^E 



telles, que chacune des trois d'entre elles, prise entre 

 certaines limites, peut être exprimée par la quatrième 

 restante pour tous les nombres premiers. Si l'on trou- 

 vait une expression simple de l'une d'elles en termes 

 finis , ou en déduirait les valeurs numériques des 

 trois autres; or, ce cas a visiblement lieu pour les 

 nondtres premiers de la forme p = 4h -t- 1 ; en effet 

 on a alors 



et par conséquent les formules (9), (16) et (19) don- 

 neront: 



2^-1 



Se ( - ) = <^^-^)(^y-^' _p^^ (i'-i)(i' 



yE(<^- 



m = 1 



p (g- - 1) 



p-\ 



.(li) 



(22) 



Ainsi, par exemple, pour le nombre premier 2:»= 17, 

 en choisissant pour g sa plus petite racine primitive 

 3, on trouvera par ces formules: 



|j: = IG 



V EVri]>. 



16 



17G, N;ij!L)=80, 



i-i ■ 



1 



m = 1 



o,'2 »! 



if 



17 



2 848 676. 



Je ne m'arrêterai pas sur différentes autres combi- 

 naisons des formules de cet Article; je le terminerai 

 en donnant le spécimen d'une Table , relative aux 

 nombres premiers de la forme q = 4n-t- 3, qui , am- 

 plifiée, pourrait être fort utile pour quelques appli- 

 cations; la notre, bornée aux dix-sept premiers nombres 

 de la dite espèce, contient les valeurs numériques des 

 rapports - et —, ainsi que leurs racines primitives 

 minima. 



