BULLETIN 



DE L'ACADÉMIE fflPÉRlALE DES SCIENCES DE ST.-PÉTERSBOURG, 



Démonstration de quelques Propositions relatives à la 

 fonction numérique -E (*•].*) Par V.Bo uni a ko w s ky. 



(Lu le 28 septembre 1882.) 

 Article 1". 

 Dans ce premier article je me propose d'établir 

 plusieurs relations concernant la fonction E (V^i)), 

 dans laquelle jj désigne un nombre premier de la forme 

 4w -H 1 et [x un entier positif. Je commence par la 

 démonstration de la formule 



^=^7^^ 



/— ^ _ (P ■ 



2 E{Vv-p) = 



1) JP - 5) '^*) 

 "12 ' 



.(1) 



qui me servira de point de départ dans ce qui va 

 suivre. 



Considérons les équations de la forme 



a) 



^2^ — u" — r = 0. . . . 

 que l'on obtient en faisant successivement 

 p.= 1, 2, 3,. 



p — 5 p — 1 



et en attribuant à u et r des valeurs correspondantes 

 à ]x telles, que l'équation (2) soit satisfaite par des 

 valeurs de r inférieures à p. On y parvient en sup- 

 posant: 



pour iJ.= 1; 11=1, 2, 3,....Eyp, 



2; u = EVp-+-l,EVp^2,....EV2p, 



EV2p-i-\, EV2p-i-2,....EVSp, 



pour (j. 

 pour ^ 



3; U-- 



*) Je publie cet opuscule pour me conformer au désir de quelques 

 mathématiciens de connaître les démonstrations de plusieurs Pro- 

 positions sur la fonction numérique E{x), Propositions dont je n'ai 

 publié que les énoncés dans quelques uns de mes articles contenus 

 dans le BuJIetin de l'Académie des Sciences de St.-Pétershourg, et, 

 en particulier, dans ma Noie intitulée: Sur quelques formules qui ré- 

 sultent de la comhinaison des résidus quadratiques et non-quadra- 

 tiques des nombres premiers; (Bulletin, T, XIII, pag. 25—32). Aux 

 résultats déjà publiés j'en ajouterai ici quelques nouveaux. Chaque 

 article du présent opuscule formera un tout partiel, indépendant 

 de ses autres articles. 



**) La démonstration de cette formule a été publiée dans les 

 Comptes rendus, Tome XCIV, J\s 22 (29 Mai 1882, pages 1459—1461). 

 Tome XXVIII. 



et ainsi de suite jusqu'à la derniè re vale ur de [j. ^ 

 ^-^^, pour laquelle on a h = Ey^^-^ p, expression 

 qui se réduit à ^-^-^ , comme on le voit de suite en 

 remplaçant p par 4w -»- 1 , ce qui donne 



E 



Y'^p = EV4n^ -t- n = 2n =^- 



P-i 



Pour ce qui concerne les ~— valeurs soustractives 

 de r, il est d'abord facile de voir qu'elles sont toutes 

 inférieures à p et inégales entr'elles. En effet, si l'on 

 supposait dans l'équation (2) r^p, et par conséquent 

 /• = kp -t- r', elle prendrait la forme 



(jjL — k) p — îî^ — / = 0, 



et se rapporterait non au multiple [i, mais au multiple 

 d'un ordre inférieur p. — A; de p. 



L'inégalité des nombres r entr'eux s'établit avec 

 la même simplicité en observant que les deux équations 



]i.p — II" — r = et }x'p — ît'" — r = 



sont incompatibles entr'elles, car on en tirerait l'é- 

 galité , > , r, 



([J. ix)p = (W -H M ) (m U ), 



impossible par la raison que chacun des deux facteurs 

 U-+-U et M — u est inférieur au nombre premier p. 



De plus, on s'assure de suite que la totalité des 

 nombres r forme la série complète des résidus qua- 

 dratiques de p; pour cela il n'y a qu'à observer que 

 l'équation (2) donne 



y 2 ^ M? - ' = 1 (mod. p). 

 Cela posé, on voit qu'aux valeurs 



V- 



= 1, 2, 3, 



P- 



correspondent des groupes d'équations (2) , dont le 

 nombre est successivement égal à 



EVp, Ey2p — EVp, EV3p — EV2p,. 



E^^ 



E 



]/? 



— 1 



4 V. 



18 



