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Bullefîu de rytead^iitie Impériale 



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Si l'on fait actuellement la somme de toutes ces 

 j^-yP^ p = l^ équations, on verra qu'elle con- 

 tient trois sortes de termes: l") la somme des différents 

 multiples de 1 à ^^^ du nombre premier p, somme 

 que je représenterai par Mp; 2°) la somme G des 

 carrés des nombres naturels de 1 à ^^^ inclusive- 



ment; 3°) la somme R des résidus quadratiques r du 

 nombre premier p. Les expressions analytiques de 

 ces trois sommes sont: 



M=EVp-*-2[EV2p-EVp]-i-3[EV3p-EV22)h'.... 



....-.^^[Ey^p-Ey^^p] ^^^Ey^p-s 



en faisant pour abréger 



EVp-t- EV2p -+- EV32) -+- 



E 



?]A 



1^= 



p-5 



— 5 





Pour ce qui concerne les sommes G et B, elles sont 

 données par les formules connues 



G 



24 



p et R = ^-^P- 



p-i 



Ajoutant toutes ces —— équations, on aura 



Mp — G — R = 0; 



substituant ensuite à 31, G et R les expressions ci- 

 dessus, et divisant tous les termes par p, on obtiendra 

 pour déterminer S la formule 



s=^^Ey^-^p 



24 



4 ■ 



qui, après y avoir remplacé Ey^^—^p par ^-^-g— > se 

 réduira simplement à la suivante : 



» — 5 

 ■* t*- = ■ 



8= ^ Ev^>^ ^'-'^^r'^ ' 



,x=l 



qu'il s'agissait de démontrer. 



Cherchons maintenant la somme 2EV\)~p, étendue 

 aux valeurs i>-= 1, 2, 3. . . jusqu'à \J.^p — 1 in- 

 clusivement. 



En suivant la même marche que ci-dessus on for- 

 mera p — 1 équations de la forme (2), qui satisferont 

 à la condition r < p, mais dans lesquelles, à partir de 

 p. = ^pi , il se présentera quelques particularités 

 que nous allons signaler: 



1°) Nous remarquerons d'abord que le maximum de 

 M, correspondant à jj. =|) — 1 , est égal k p — 1 ; et 

 en effet, si l'on remplace p par 4«-*- 1, ou trouve 



u = EV(p — Dp — EVl6n'-+- an — 4n=p—l. 



2°) Dans les équations 



\>.p — «^ — r = 



dont nous ferons usage, on doit toujours supposer r 

 inférieur à p; effectivement, si l'on supposait r > p, 

 et par conséquent r = Jq) -*- r', notre équation se ré- 

 duirait à 



([}. — Je) p — II' — r' = 0, 



et non à 



]}.p — M" — r = 0, 



qui est celle que nous devons considérer, et dans la- 

 quelle on a r < p. Pour abréger nous appelerons 

 équations propres celles dans lesquelles r < j) , et im- 

 propres celles dans lesquelles r > p. 



o") A cliaque valeur de p. > ^^ il ne peut cor- 

 respondre qu'une seule équation propre 



)i.p — if — r = 0. 



En effet, si l'on admettait la possibilité d'une seconde 

 équation de la même forme 



^p — {u -t- 1)^ — / = 0, 



on en déduirait l'égalité 



r = r — {2u ■+- 1) 



qui, combinée avec la condition u > ^^^, o» l^ieii 



2w -4- 1 >p, conduirait au résultat inadmissible r < 0. 



4°) Sur la totalité 3 --^^ des valeurs que prend ^ 



à partir de ]s. = ^^^ -+- 1 jusqu'à ^=p — \ inclusi- 



vement, le nombre des valeurs distinctes de u devant 



