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être p 



1 



p — 1 jp — 1 



des Sciences de Saint-Pétersbourg. 



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^— , il s'en suit que 







d'entr'elles se trouveront répétées. Soient 



^p — ii^ — ■/• = et {'^ -i- \) p — u' — r' 



deux équations consécutives relativement auxquelles 

 la dite répétition a lieu. Or, comme l'on a r'=p -+-»', 

 il en résulte que la seconde équation est impropre ., et 

 l'on devra avoir simultanément 



M 



EV]yp = T:V{\y. -+- \)p, 



ou bien 



EV{]}.-+-l)p — EV^) = 0. 



De là nous concluons que la répétition de u n'in- 

 fluera en rien sur l'opération que nous employons 

 pour avoir l'expression du coefficient M de multipli- 

 cité de p, puisqu'on devra multiplier par séro le fac- 

 teur {j. -I- 1 de p dans l'équation impropre 



{\), -\~ \) p — «' — / ^ 0. 



Nous remarquerons en passant que l'avant dernière 

 de nos équations 



{p — 2) p — n^ — /' = 



sera toujours impropre. Pour le faire voir il faut dé- 

 montrer l'égalité 



On trouve de même 



EV{p—2)p = EV[p — d)p. 



Or, en remplaçant p par 4h -h 1 dans l'équation 



fp — 3) i) — «' — /" = 0, 



qui précède immédiatement la pénultième, nous ob- 

 tiendrons 



V(i)— 3)p = VlGn' — 4w — 2 



< in 



>4m — 2' 



donc 



EV(p — 'à)p = 4w — 1 —p — 2. 



EV(p — 2)p = EV{énf— 1 = 4h — 1 =p — 2, 



résultats qui justifient notre assertion. 



Après ces éclaircissements, et considérant de plus 

 1°) que la suite des carrés iir s'étend de «^ =: V à 

 u^ = {p — if, et 2°) que tous les ^^^ résidus qua- 

 dratiques r reparaissent nécessairement dans les équa- 

 tiens qui correspondent aux valeurs de ^ > — j— , 

 nous obtiendrons pour la somme totale des équations 

 propres 



\i.p — M^ — r := 



l'expression suivante : 



p [EVp + 2 {EV2p - EVp) ^ 3 (EVÎp - EV2p) -^.... 



u=p-—l 



....-i-(î)~l){EV{p-l)p-EV{p-2)2))]-^u''-2^r=0. 

 Observant en outre que l'on a 



u = l 



U=:p — 1 

 !«= 1 



2^. 



{p — i)p 



on obtiendra définitivement, en supprimant le facteur 

 commun p, et toute réduction faite : 



y^Ev^): 



:= EVp -i- EV2p -*- EV3p -t- . 

 .EV(^^lW=^ ^-'^i''-'^ - 



(3) 



Voici un petit tableau, dressé pour le nombre pre- 

 mier jp = 17, qui servira à éclaircir complètement tous 

 les détails dans lesquels je viens d'entrer: 



18* 



