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Bulletin de r/%cadéinie Impériale 



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causent, d'ailleurs, sous ce rapport, beaucoup moins 

 d'embarras que le roi et le cavalier. Sans nous arrêter 

 à aucun détail, nous mentionnerons comme un fait 

 curieux, qu'on doive recourir à des formules somma- 

 toires fort compliquées, pour résoudre ce problème 

 eu ap]»arence si élémentaire: «Exprimer le total des 

 «différentes voies par lesquelles le roi peut passer, 

 «d'une case donnée de l'échiquier à une autre, dans 

 «le minimum de coups». Quant au cavalier, l'auteur 

 fait voir qu'il n'existe même pas, pour cette pièce, 

 d'expression (lénérale analogue. Cela est d'autant plus 

 à remarquer que les questions qui découlent de son 

 mouvement, sont résolubles par l'analyse indéter- 

 minée, pourvu qu'on affranchisse ce mouvement des 

 restrictions qu'y apportent les limites de l'échiquier. 

 Or, dans ce qu'on nomme habituellement le proUhne 

 du cavalier, on ne se borne pas à maintenir les dites 

 restrictions, on y ajoute encore celle de lui faire par- 

 courir toutes les cases de l'échiquier, sans jamais 

 toucher deux fois à aucune. Aussi ce problème qui à 

 occupé de très-célèbres géomètres, u'a-t-il été résolu 

 jusqu'ici qu'au moyen de tâtonnements systématiques, 

 moyen qui ne fait point connaître le nombre total des 

 solutions possibles sur l'échiquier donné. 



L'exposé de ces voies de tâtonnement, parmi les- 

 quelles figurent celles d'Euler, de Vandermonde et 

 de Warnsdorf, forme, avec divers éclaircissements 

 sur le côté analytique du même problème, le contenu 

 du second volume. C'est un traité complet sur cette 

 matière, rédigé sur un nouveau plan, et qui comprend 

 beaucoup de recherches propres à l'auteur. On peut 

 citer, entre autres, l'exposition raisonnée de la mé- 

 thode des quartes, mode d'opération particulier pour 

 trouver les courses de cavalier les plus élégantes, 

 celles, par exemple, dont les numéros de station en- 

 gendrent des sommes partout égales (carrés magiques). 



Nous avons dit que les questions qu'on peut se 

 proposer sur la marche des pièces, en considérant 

 chacune isolément , ne sont que difficilement atta- 

 quables par l'analyse mathématique. La même obser- 

 vation s'étend à des arrangements de plusieurs pièces, 

 qu'on voudrait assujettir à certaines conditions, mais 

 toujours sans relation aux lois du jeu effectif (pro- 

 blèmes de cmg, de huit dames, etc.). Cette singulière 

 impuissance de l'analyse tient principalement aux 

 modifications irrégulières que les limites de l'échi- 



quier font éprouver à la portée de mouvement ou 

 d'action des pièces que l'on considère. Mais il existe 

 un autre genre d'application du calcul aux échecs, 

 qui, abordant franchement l'organisation spéciale de 

 ce jeu, conduit, cependant, à des résultats mathéma- 

 tiques incomparablement plus heureux. Ce genre d'ap- 

 plication, dont traite le troisième volume, semble 

 ouvrir des voies nouvelles à la théorie des intégrales 

 combinatoires, et promettre ainsi une extension de 

 cette théorie. 



Pour expliquer brièvement de quoi il s'agit, nous 

 devons rappeler que le droit d'attaque et de défense 

 des pièces est réglé, aux échecs, par des lois inva- 

 riables. Il s'étend, pour chaque pièce à longue portée, 

 et sur chacun de ses rayons, à l'ensemble des cases 

 comptées, à partir de sa station, jusques et y compris 

 la case remplie par la pièce obstruante la plus rap- 

 prochée. Il y a attaque, si cette pièce appartient à 

 l'adversaire, défense, si elle est de même couleur. 

 Le di'oit d'attaque et de défense des pièces à faible 

 portée (roi, cavalier, pion) part du même principe, 

 mais se trouve limité aux cases immédiatement atte- 

 nantes. La portée d'action d'une pièce, dans une 

 combinaison de jeu quelconque, s'exprime ainsi tou- 

 jours par un nombre, qui y mesure ce qu'on peut 

 appeler sa réaction, ou la puissance qu'elle y exerce 

 à l'état d'immobilité, quand le tour de jouer est à 

 l'adversaire. Or il importe très -peu d'examiner la 

 réaction d'une pièce dans quelque arrangement déter- 

 miné, il convient de l'étudier dans toutes les positions 

 successives qu'elle est à même d'occuper, dans tous 

 les arrangements imaginables auxquels elle peut par- 

 ticiper, et cela non-seulement avec un nombre donné 

 de pièces obstruantes, mais avec tous les groupes 

 possibles de ces pièces. On aura ainsi des souimations 

 multiples à exécuter, par rapport à diff'érentes varia- 

 bles. La somme intégrale qu'on obtiendra, divisée par 

 le total des arrangements correspondants, exprimera 

 alors la réaction moyenne, ou autrement la puissance 

 normcde de la pièce réagissante. Or les conditions du 

 jeu pratique exigeront qu'on ne s'arrête même pas là. 

 On devra, pour y satisfaire, évaluer de même la ré- 

 action combinée moyenne de plusieurs pièces d'un 

 joueur, et l'excédant ou le défaut de cette réaction, 

 comparée à celle de plusieurs pièces adverses coa- 

 lisées. 



