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Bulletin de r/%cadéinie Impériale 



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de disposer ces paratonnerres de la manière la plus 

 avantageuse possible, c.-à. -d. de la sorte que l'ac- 

 tion préservatrice totale s'étende à une portion maxi- 

 mum de la projection horizontale du toit. Cette ques- 

 tion, nous le répétons, est de pure Géométrie; elle se 

 rapporte en particulier à la Géométrie de position et 

 à la théorie analytique des maxima et minima. En 

 termes mathématiques, elle se réduit à disposer, dans 

 ime figure plane proposée (la projection horizontale du 

 toit), un certain nombre de cercles, de rayons donnés 

 (rayons des cercles de la vertu préservatrice) , de ma- 

 nière à ce qu'ils couvrent la plus grande surface possible. 



La difficulté de ce problème, dans un grand nombre 

 de cas, consiste principalement dans la détermination 

 préalable des situations respectives des cercles et de 

 la figure donnée, compatibles avec la condition que la 

 surface couverte puisse devenir la plus grande pos- 

 sible. Tant que cette connexion entre les positions 

 respectives de toutes ces figures n'est pas fixée en 

 termes généraux, il est impossible de former la fonc- 

 tion dont on cherche le maximum. 



Avant de passer à la solution de quelques cas par- 

 ticuliers de cette question, cas qui se présentent le 

 plus souvent dans la pratique, j'expose quelques con- 

 sidérations qui restreignent cet énoncé général. Et 

 d'abord j'observe que les projections horizontales des 

 toits que l'on veut armer de paratonnerres, sont or 

 dinairement des figures rectilignes, formées, le plus 

 souvent, d'un ou de plusieurs rectangles Juxta-posés. 

 De plus, comme il est reconnu que plus les paraton- 

 nerres sont élevés, et plus ils sont efficaces, on les 

 dispose généralement sur le faite des toits qui, pour la 

 plupart du temps, divise la partie attenante en deux 

 portions égales. 



Ces restrictions en partie admises, je résous suc- 

 cessivement les questions suivantes: 



Disposer de la manière la plus avantageuse un nombre 

 quelconque de paratonnerres , d^égale efficacité , sur le 

 faîte d^un toit dont la projection horizontale est un 

 rectangle. 



La solution à laquelle on arrive est extrêmement 

 simple. Supposons que le nombre des paratonnerres 

 à placer soit égal à n, et que la longueur du faîte soit 

 inférieure au produit du rayon du cercle de l'action 

 préservatrice par 3n. Pour avoir les points qui doi- 

 vent servir de bases aux n paratonnerres, on divisera 



le faîte du toit en 3n parties égales; les points de di- 

 vision d'ordre impair, c.-à-d. l'extrémité de \a, pre- 

 mière division, celle de la troisième, de la cinquième 

 etc. seront les points cherchés. On remarquera que, 

 dans le cas actuel, la position la plus avantageuse des 

 paratonnerres est indépendante du rayon du cercle de 

 leur efficacité commune. 



Après cela vient le problême suivant: 



Soit un bâtiment rectangulaire déjà armé de deux pa- 

 ratonnerres égaux, placés conformément à la règle pré- 

 cédente. On adosse contre le milieu de ce bâtiment une 

 nouvelle construction ou un appentis, ayant également 

 la forme d'un rectangle. Il s'agit de placer sur le faite 

 de cet appentis, et de la manière la plus avantageuse, 

 un troisième paratonnerre de même efficacité que les 

 deux existants. 



Plus loin je passe à des problêmes relatifs à l'hy- 

 pothèse que la projection horizontale du toit a la forme 

 d'un trapèze régulier. La solution de cette question 

 donne en même temps, comme cas particulier, celle 

 du problême relatif à un toit dont la projection se ré- 

 duit à un triangle isocèle. 



Vient ensuite une question relative à un toit de 

 forme curviligne, nommément: 



Placer simétriquement, et de la manière la plus avan- 

 tageuse , quatre paratonnerres d'égale efficacité , sur un 

 édifice de forme circulaire. 



Je termine le Mémoire par quelques considérations 

 relatives aux problèmes plus compliqués, dans les- 

 quels les restrictions dont il vient d'être fait mention 

 n'ont plus lieu. Pour donner un exemple de ce cas, 

 je suppose qu'il s'agit d'armer un bâtiment carré, de 

 la manière la plus avantageuse, d\m seul paraton- 

 nerre, sans qu'il soit astreint à être fixé sur le faite 

 du toit. Après une discution détaillée des différentes 

 situations respectives d'un carré et d'un cercle, on 

 forme la fonction qui doit devenir un minimum; cette 

 fonction formée, on arrive de suite, par les règles or- 

 dinaires, au résultat très simple, que pour satisfaire 

 à la condition exigée, la base du paratonnerre doit 

 être placée sur l'intersection commune des deux dia- 

 gonales du carré qui représente la projection horizon- 

 tale du toit. 



La discution des situations respectives des cercles 

 et des lignes qui forment le contour de la projection 

 horizontale du toit, compatibles avec la condition du 



