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Bulletin de l'ytcadéinie Impériale 



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on aura toujours 



ss' = aa' 



-ha'- 

 ■W- 



-ca 



c.-à-d. le iwoduit géométrique de deux sommes géomé- 

 triques est égal à la somme algébrique des produits géo- 

 métriques de chaque terme de l'une des sommes par 

 chaque terme de Vautre. 



En parlant d'un observateur qui est appuyé sur une 

 droite a, ayant les pieds à l'origine de cette droite, 

 nous disons que l'observateur est représenté par a. 



3. Toute droite indéfinie [L) peut être consi- 

 dérée comme un axe de rotation d'une figure inva- 

 riable, et une longueur arbitraire X, portée sur cette 

 droite, comme la vitesse angulaire de cette rotation. 

 Un point donné aura, en vertu de cette rotation, 

 une vitesse jl, dont la grandeur est égale à X multi- 

 pliée par la distance de h (L), et la direction est de 

 gauche à droite pour un observateur représenté par 

 X. On peut aussi considérer jx comme le moment 

 linéaire d'une force de grandeur et de direction X, ap- 

 pliquée à un point quelconque de la droite (L). Les 

 droites X et jj., transportées eu une même origine 0, 

 peuvent être considérées, à un point de vue purement 

 géométrique, comme deux arguments de la droite (L), 

 au moj^en desquels on peut déterminer la position de 

 cette droite. II faut pour cela porter, à partir du 

 point 0, sur la perpendiculaire au plan de X et jj., à 

 droite d'un observateur qui est représenté par X et 

 qui regarde jj-, une longueur égale au rapport y, et 

 mener par l'extrémité de cette longueur une droite 

 parallèle à X. 



Pour distinguer l'argument p. de X nous le nomme- 

 rons, comme dans la statique, moment de {L) ou 

 de X porté sur (L), et le point centre des moments. 

 Une même droite {L) a différents moments relatifs 

 à différents centres. 



Si i».' et le moment de X porté sur (L) par rapport 

 à un nouveau centre 0' et v le moment relatif au 

 premier centre de X, porté sur une droite parallèle 

 à (L), menée par 0', on aura 



? = H:-v (1) 



Soit encore n-, le moment de X, porté sur la droite I 



(X,) par rapport au centre 0. Le produit rfc jlx = 

 ±iJ.X, cos(iJ.X,) est équivalent à six fois le volume d'un 

 tétraèdre, dont une des arêtes est X portée sur (L) et 

 l'arête opposée X, transportée à l'origine 0. En effet: 

 la valeur du moment ^ est équivalente à l'aire du pa- 

 rallélogramme, qui a X pour base et la distance de 

 de à (L) pour hauteur, et la valeur de rt X, cos(ijlX|) 

 à la perpendiculaire abiiissée sur le plan de ce paral- 

 lélogramme de l'extrémité de X,, dont l'origine est 

 transportée en ; le produit ± [j-X, cos (jj-X,) est donc 

 équivalent au volume du parallélépipède qui a ce 

 parallélogramme pour base et cette perpendiculaire 

 pour hauteur, ce qui fait six fois le volume du tétra- 

 èdre dont il s'agit. 



Si X| , ayant l'origine en 0, est dirigée à droite d'un 

 observateur représenté par X sur (L), le produit [iX, 

 sera positif; dans le cas contraire il sera négatif. 



Par la même raison le produit géométrique ± X;jl^ 

 est équivalent à 6 fois le volume du tétraèdre dont 

 une des arêtes est X^, portée sur (L,), et l'arête oppo- 

 sée X, ayant l'origine en 0. Il est facile de voir que 

 les produit Xii.| et X^jt sont toujours de signes con- 

 traires. Par conséquent si l'on a 



XiJL, -+- X,ii. = . 



(2) 



les deux volumes dont il s'agit sont égaux, ce qui ne 

 peut être que lorsque les droites (L) et (L,) se trou- 

 vent dans un même plan. Réciproquement: chaque 

 fois que deux droites (L) et (L^) se trouvent dans un 

 même plan, leurs arguments (X, jt) et (X^, p.,) doivent 

 satisfaire à l'équation (2). 



Si l'on désigne par ]x.' le moment de X relatif au 

 centre 0' pris sur la droite (L,) et par v le moment 

 de X transporté sur une droite (L'), menée par 0' et 

 parallèle à (L), on aura, en vM'tu de l'équation (1), 

 ]}.':= ji. — V. Le produit ± i».'X, est équivalent à 6 fois 

 le volume du tétraèdre, dont une des arêtes est X 

 portée sur (L) et l'arête opposée X, portée sur (LJ. Or 



i».'X, = (li. — v)X, =ilJ.X,. 



• vX 



1' 



les droites (L,) et (L'), se trouvant dans un même 

 plan, on a en vertu de l'équation (2) 



