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des Sciences de Saint • P^'tersbourg:. 



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par conséquent 



lj.'X, = 1J.X, -+- Xj!^ c (3) 



4. Si l'on prend le point pour l'origine de trois 

 axes de coordonnées rectangulaires, et que l'on dé- 

 signe par X, Y, Z les projections de X sur ces axes 

 et par L, 31, N celles de \t., on aura les six quantités 

 X, Y, Z, L, M, N, que Pliicker a nommées coordon- 

 nées de la droite (L)^). Toute équation homogène par 

 rapport à ces coordonnées appartient à un système 

 de droites nommé complexe. La droite (L) est un 

 rayon du complexe. 



Un complexe, dont l'équation est du premier degré, 

 est dit linéaire. Les complexes linéaires sont intime- 

 ment liés aux propriétés des vitesses virtuelles d'une 

 figure invariable, ainsi qu'à un système de forces, 

 . appliquées à un corps considéré comme figure in- 

 variable. 



L'équation générale d'un complexe linéaire a la 

 forme 



a.X-^^Y-i-^ZH-pL-i-qM-i~rN=0.. .(4) 



où a, ^, Y, j), q, r sont des constantes données. Les 

 trois premières a, ^, y peuvent être considérées comme 

 les projections d'une certaine droite k sur les axes 

 dés coordonnées, et les trois autres jj, q, r comme 

 les projections sur les mêmes axes d'une autre droite 

 ô. Cela posé, l'équation (4) peut être mise sous cette 

 forme simple 



fcX -4- «i». = 0, (5) 



qui est indépendante de la direction des axes de coor- 

 données, et qui est très commode pour la démon- 

 stration des propriétés du complexe linéaire. Les deux 

 longueurs constantes k et a seront nommées dans la 

 suite paramètres du complexe linéaire (5), et pour 

 désigner ce complexe nous nous servirons de la nota- 

 tion \li, m]. 



Dans le cas particulier « = 0, l'équation (.5) se ré- 

 duit à /^ = et appartient à un système de droites 

 perpendiculaires à k. 



Quand fc = 0, l'équation (5) devient «jj. = 0, ce 

 qui donne i». = ou ^ perpendiculaire à 6). Or cela 

 ne peut être que pour une droite (L) qui se trouve 

 dans le même plan avec m. Ainsi le complexe linéaire 



2) Neue Géométrie des Baumes. Leipzig 1868. 



dans ce cas est formé de rayons, qui rencontrent la 

 droite fe, ou qui lui sont parallèles.- 



Si les paramètres k et u forment un angle droit, on 

 peut les considérer alors comme des arguments d'une 

 certaine droite (C), nommément k comme le moment 

 de « porté sur la droite (C). Dans ce cas l'équation 

 (5), ayant la forme de l'équation (2), exprime la con- 

 dition que (L) et (C) sont dans un même plan, et le 

 complexe \k, m] est donc formé, comme dans le cas 

 précédent, de rayons qui rencontrent une certaine 

 droite (C), ou qui lui sont parallèles. 



Déterminons maintenant les rayons du complexe 

 quand le produit ka n'est pas égal à zéro. Supposant 

 que (L) est nn rayon du complexe, désignons par lo 

 le moment relatif à de « transporté en un point 

 quelconque de (L), par exemple à l'origine de X, et 

 soit V la différence géométrique k — iv\ nous aurons 

 donc k = v-t-iv et, en vertu de l'équation (5), 



vk -+• ivh 4- «(J. = 0. 



Or, en vertu de l'équation (2) on a ?<;X -t- «[j. = 0, 

 par conséquent vk= 0, ce qui exige que (L) soit per- 

 pendiculaire à V. La direction de v dépend du point 

 pris pour l'origine de X et nullement de la direction 

 de cet argument; elle est donc la même pour tous les 

 rayons du complexe qui passent par ce point. Ainsi, 

 tous les rayons du complexe [k, u] menés par un 

 même point se trouvent dans un même plan. On peut 

 considérer le paramètre k comme la vitesse de trans- 

 lation et « comme la vitesse angulaire de rotation, 

 portée sur l'axe instantané, d'un mouvement d'une 

 figure invariable. Cela posé, la longueur v transportée 

 à l'origine de X sur (L) n'est autre chose que la vi- 

 tesse de ce point due à la translation k et h laj-otar 

 tation autour de avec un vitesse angulaire a. Le 

 système de vitesses virtuelles de la figure invariable 

 dû à la vitesse de translation fc et à la vitesse angu- 

 laire ô sera désigné dans la suite par (fe, o). On doit 

 conclure de ce qui vient d'être démontré que le com- 

 plexe linéaire [/.-, w] est formé de rayons qui sont les 

 droites menées par différents points d'une figure in- 

 variable perpendiculairement aux vitesses de ces points 

 dans le système {k, «). Ainsi, tout système de vitesses 

 virtuelles (k . m) détermine un complexe [fe, o] et ré- 



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