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Bulletin de l'j%cadéiiiie ltn|iériale 



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ciproqueraent: un complexe \k, a] détennine un sys- 

 tème de vitesses virtuelles {k, a). 



Tout point par r.apport au plan, dans lequel se trou- 

 vent les rayons du complexe menés par ce point, se 

 nomme suivant Pliickor — pôle, et suivant M. 

 Cliasles — foi/er. Nous nous servirons de la première 

 dénomination. 



La vitesse v est la même en grandeur et en direc- 

 tion pour tous les points d'une droite parallèle à la vi- 

 tesse angulaire m ou à l'axe instantané, car ses com- 

 posantes I- et w ont évidemment en ces points les mêmes 

 grandeurs et les mêmes directions. Par cette raison, 

 les plans dont les pôles se trouvent sur une droite 

 parallèle au paramètre o sont parallèles entre eux. 

 Chaque droite parallèle au paramètre « est nommée 

 par Plucker — diamètre du complexe [k, o] conju- 

 gué avec les plans qui ont leurs, pôles sur cette droite. 

 Le diamètre (C) qui est perpendiculaire à ses plans con- 

 jugués se nomme axe du complexe. Il est aussi Taxe cen- 

 tral du système de vitesses virtuelles {k, m), parce que 

 les vitesses des points de cette droite sont parallèles à 

 la vitesse angulaire o. Si l'on décompose la vitesse de 

 translation k en deux autres, la première ±kco?,{ka), 

 dirigée suivant 6), et la seconde k sin (ka) perpendicu- 

 laire à M, on peut produire le système de vitesses vir- 

 tuelles {k, m) au moyen d'un mouvement hélicoïdal, 

 dans lequel dzk cos {ka) est la vitesse de glissement sui- 

 vant l'axe (C) et k sin (kw) la vitesse de rotation de 

 autour de cet axe. Les composantes dr k cos (Au) 

 et fc sin (feu) sont donc les -arguments de l'axe {C) et 

 servent par conséquent à déterminer sa position. 



Si denx plans (P) et (P) ont leurs pôles M et M' 

 sur une droite (A) qui n'est pas un rayon du comj^lexe 

 [k, u] et se coupent suivant une droite (7?), cette der- 

 nière ne peut être non plus un rayon du complexe. Il 

 est facile de voir que tout plan mené par (A) a son 

 pôle sur (7?), et réciproquement, tout plan mené par 

 (B) a son pôle sur {A). Plucker nomme les droites 

 {A) et (i?), par cette raison, — polaires conjuguées du 

 complexe \k, «]. 



Par rapport au système des vitesses virtuelles (fe, u) 

 ce sont, suivant M. Chasles, deux axes conjugués de 

 rotation, c.-à-d. les axes de deux rotations, au moyen 

 desquelles on peut produire le système de vitesses 

 virtuelles. 



Cette propriété cinématique dos droites {A) et {B) 

 peut être facilement démontrée au moyen de l'équation 

 du complexe (5). 



Soit V et v les vitesses des points M et M'. 

 La vitesse v étant perpendiculaire à (.B), on peut 

 la considérer comme le moment par rapport au point 

 M d'une certaine longueur a portée sur (Z?); par la 

 même raison v' peut être considérée comme le moment 

 par rappoi't à M' d'une certaine longueur «'portée 

 aussi sur {B). Il s'agit de démontrer que a = a. Pre- 

 nant l'origine pour centre des moments, désignons 

 par Y et y' les moments de a et a, et par p et p' ceux 

 de ces longueurs transportées respectivement sur des 

 droites parallèles à {B) menées par M et M.'. Nous 

 aurons en vertu de l'équation (1) 



w — Y — ^, ?/ = y' — P' 



et par suite 



va^^a — ^u, v'u = y'u — P'u. 



Or va = va = A,u; par conséquent 



Yu — pu = y'u — p'u (6) 



Les droites parallèles à [B) menées par les points M 

 et ilf' étant perpendiculaires aux vitesses de ces points 

 sont des rayons du complexe [k, u]; leurs arguments 

 doivent donc satisfaire à l'équation (5), ce qui donne 



fcâ-+-ûp = 0, ka'-i-â^'=0 



et l'équation (6) se réduit à 



YU -H Jca = y'u -*~ka' (7) 



Les longueurs a et a', portées sur une même droite 

 (B), doivent avoir par rapport au point des mo- 

 ments dirigés aussi suivant une même droite; ainsi 

 Y et y' sont dirigés suivant une même droite, en même 

 sens ou en sens contraire, suivant que a et a' seront 

 dirigées en même sens ou en sens contraire, et on 

 aura en outre ■^'•.y = o': a. Par conséquent, si l'on 

 désigne ce rapport par n, l'équation (7) se réduira à 



(dbii— 1) {kâ-i-^) = 0. 



Le facteur ka -+-■ uy ne peut être nul , car la droite 

 (B) dont a et y sont les arguments n'est par un rayon 

 du complexe (5); on doit donc avoir ± n — 1 = 0, 

 ce qui exige que les segments a et a' de la droite [B) 

 soient égaux et dirigés en même sens. 



