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des Sciences de Saint -Pétersbours:. 



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Ainsi, les vitesses v et v ])cuveiit être produites 

 simultanément au moyen d'une rotation autour de 

 l'axe {B) avec une vitesse angulaire a. 



On trouvera de même que les vitesses des points 

 de la droite (B) peuvent être produites au moyen d'une 

 rotation autour de {A) avec une certaine vitesse angu- 

 laire h. Les vitesses de trois points, dont deux peu- 

 vent être prises sur (^4) et la troisième sur (7?), étant 

 suffisantes pour déterminer les vitesses de tous les 

 autres points de la figure invariable, on doit conclure 

 de ce qui vient d'être démontré, que le système de 

 vitesses virtuelles {h, m) peut être produit au moyeu 

 de rotations autour de deux polaires conjuguées quel- 

 conques du complexe [h, «]. 



Deux paires de polaires conjuguées {A, B) et 

 pi', B') se trouvent, comme l'on sait, sur un même 

 hyperboloïde réglé, c.-à-d. toute transversale (L) des 

 trois droites (4), (jB), {A!) rencontre {B'). En effet: 

 la droite (7v), étant perpendiculaire aux vitesses de 

 ses deux points de rencontre avec (^4) et (7?), doit être 

 perpendiculaire aux vitesses de tous ses autres points, 

 par conséquent aussi à la vitesse de son intersection 

 avec (.4'); or, ce point est le pôle d'un phn qui passe 

 par (B'); la droite {L) se trouve donc dans ce plan et 

 s'appuie sur (B'). 



5. Pour déterminer un mouvement quelconque d'une 

 figure invariable, il suffit de connaître le mouvement 

 d'un de ses points et le mouvement de rotation autour 

 de ce point de trois axes rectangulaires Ox, Oi/, 0^, in- 

 variablement liés à la figure. La position de la figure 

 en un instant donné pourra donc être déterminée au 

 moyen des coordonnées a,b,c du point relatives 

 à des axes rectangulaires fixes A^, A-q, ^Ç, et au 

 moyen de trois arguments, qui fixent la position des 

 axes Ox, Oij, Oz. On peut prendre, par exemple, pour 

 ces arguments les trois angles, qu'Euler a introduits 

 dans la théorie de la rotation, et qui servent à déter- 

 miner la position des axes (h. Oy, Oz par rapport à 

 des axes Oç,, Otj,, OÇ, respectivement parallèles aux 

 axes fixes Al, At],Ai,; savoir: l'angle ']> que fait l'in- 

 tersection des plans xOy et ç,0-!f), avec 0?,, l'angle cp 

 compris entre cette intersection et l'axe Ox, et l'angle 

 formé par les axes Oz et Ou,. 



Si la figure invariable est assujettie à des conditions 

 mécaniques ou purement géométriques, qui doivent 



être satisfaites pendajit toute la durée d'un mouve- 

 ment ])()Ssiblo, les six ([uantités (i, h, c, <\), (p. ^ seront 

 liées par des équations, dont le nombre ne doit pas 

 dépasser 5, pour que la figure soit mobile. Ces équa- 

 tions étant différentiées ])ar rapport au temps, donne- 

 ront des équations de forme linéaire et linmogène pas 

 rapport aux dérivées: 



dn db de d^ d<f de 

 dt' dt^ di' 'df It'' li.' 



Les trois premières de ces dérivées représentent les 

 projections sur les axes fixes y4|, A^ri, AZ de la vi- 

 tesse du point 0, qui est aussi la vitesse de translation 

 k, et peuvent être exprimées en fonctions linéaires 

 et lft)mogènes des projections de cette vitesse sur les 

 axes mobiles Ox, Oy, Oz. Les trois autres dérivées 

 W' ~If Û P^"^'*^"* ^tre exprimées par des fonctions 

 linéaires et. homogènes des projections sur les axes 

 Ox, Oy, Oz de la vitesse angulaire de rotation m por- 

 tée sur l'axe instantané. Par conséquent, en désignant 

 par a, p, y les projections de h sur Ox, Oy, Oz et 

 par 7J, q, r celles de «, nous pouvons mettre les équa- 

 tions de condition sous la forme générale 



Art -f- B^ -H Chi -i-Pp-i- Qq^-t- i?r = . . . (8) 



où A, B, C, P, Q, R sont des fonctions connues de 

 a, b, c, 4», 9, 0- On peut considérer A, B, C comme 

 les projections sur Ox, Oy, Oz d'une certaine longueur 

 H et P, Q, B comme celles d'une seconde longueur 

 K; cela posé, on aura 



Aa -+- B^ -+- C^i = m 

 Pp-¥- Qq-t- Br = KTy, 



ce qui réduit l'équation (8j à cette forme simple 



m-+-^=o (9) 



qui est indépendante de la direction des axes Ox, Oy, Os. 

 Les longueurs H et A' seront nommées dans la suite 

 paramètres de l'équation (9), et le point sera pris 

 pour leur origine commune. 



L'équation (8) étant homogène par rapport à 

 a, p, y, p, q, r, on peut varier les grandeurs des vi- 

 tesses k et M dans le même rapport, en conservant 

 leurs directions. 



Deux systèmes de vitesses virtuelles seront considé- 

 rés comme identiques, quant les vitesses fc et m au- 



