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Bulletin de l'/tcadémie Impériale 



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vont pour les deux systèmes (les valeurs respective- 

 ment pmportionelles et les mêmes directions. 



S'il arrive que K=Q^ l'équation (9) se réduira à 

 /; c.osiHk) = 0, ce qui exige que la vitesse de transla- 

 tion % soit nulle ou perpendiculaire au paramètre H, 

 la vitesse angulaire « restant arbitraire on grandeur 

 et en direction. 



Dans le cas de H = l'équation (9) devient 

 «cos(/vo) = 0, ce qui exige que l.i vitesse angulaire 

 M portée sur l'axe instantané soit nulle ou perpendi- 

 culaire au paramètre K. 



Quand le paramètre H n'est pas égal à, zéro, le se- 

 cond paramètre R dépend de la position de l'origine 

 0, ce que Ton peut voir en transportant cette origine 

 en un autre point quelconque 0'. Soient F là vitesse de 

 0' dans le système (k, (.)), à'' sa vitesse dans le système 

 (A", H), dont K est la vitesse de translation et H la 

 vitesse angulaire de rotation, w le moment de a rela- 

 tif au centre 0' et W le moment de H relatif au même 

 centre; on aura 



et 



W -*- K; 



k' = H' -+- k 

 par conséquent 



m' -+- z^ = /7w -4- Wm -i- m -H Â« . 



Or H et M ayant la même origine, la somme Hiv-*- Wa 

 est nulle en vertu de l'équation (2), et Hk-t-Ka est 

 nulle en vertu de l'équation (9); on a donc 



Hk'-i-K'(.y=^0, 



(10) 



ce qui est l'équation (9) rapportée à la nouvelle ori- 

 gine 0'. La vitesse de translation k est remplacée par 

 /? et le paramètre K par K'. 



La vitesse angulaire m et le paramètre H ont conser- 

 vé leurs grandeurs et directions, ayant une origine 

 commune en 0'. Le moment W étant perpendiculaire 

 0; par conséquent 



à H, on a WH=^ 



WH-t-KH=KH, 



c.-à-d. la valeur du produit géométrique KU ne déi>end 

 pas de la position de l'origine 0. Ainsi quand 7v7/ n'est 

 pas égal à zéro, on ne peut pas transformer l'équa- 

 tion (9) en transportant l'origine en un autre point, 

 de manière que le paramètre W soit égal à zéro. 



Au contraire, si KH=^ 0, on peut toujours choisir 

 l'origine 0' de la sorte que K' = 0. En effet: posant 

 K' = 0, on a ]F= — K, ce qui fait voir que le point 

 0' doit être pris sur une droite qui a pour arguments 

 relatifs au point les paramètres H et K. Cette droite 

 n'est autre chose que l'axe d'une rotation unique au 

 moyen de laquelle on peut produire le système de 

 vitesses (7v, H). 



L'équation (9) dans le cas de HK^O peut donc 

 être réduite à Hk,' = 0. Cette équation exige que, 

 pour tout mouvement possible de la figure invariable, 

 la droite déterminée par les arguments H et A' relatifs 

 à 0, soit perpendiculaire aux vitesses de ses propres 

 points. Ainsi, dans le cas KH = 0, il y a toujours une 

 droite de la figure invariable, dont les points ne peu- 

 vent se déplacer que suivant des trajectoires nor- 

 males h cette droite, et on peut considérer alors la 

 figure invariable comme assujettie à avoir un point qui 

 ne peut se déplacer que sur une surface immobile. 

 C'est précisément la condition particulière, à laquelle 

 M. Mannheira réduit les autres conditions qu'il con- 

 sidère dans son mémoire. 



Quand la condition KH = n'a pas lieu, on peut 

 choisir la nouvelle origine 0' de manière que les 

 paramètres JT et H soient dirigés suivant une môme 

 droite. Il ne s'agit pour cela que de prendre le point 

 0' sur l'axe central du système de vitesses virtuelles 

 (K, H). Pour trouver cet axe, on décomposera K en 

 Kcos{KH} dirigée suivant H et en Km\{KH) dirigée 

 suivant une perpendiculaire à //; ces deux compo- 

 santes seront les arguments relatifs à de la droite 

 dont il s'agit, savoir Ksin {KH) sera le moment de 

 rfc Kco?,{KH}. On aura en outre K' = ± Zcos (KH), 

 et les paramètres W et H auront la même direction, 

 ou des directions contraires, suivant que l'angle de K 

 et H sera aigu ou obtus. 



Ainsi, sans nuire à la généralité de l'équation (9), on 

 peut supposer que les paramètres H et K sont diri- 

 gés suivant une même droite, et on peut considérer 

 ces paramètres comme les éléments d'un mouvement 

 hélicoïdal, dans lequel K est la vitesse de translation 

 et .ff la vitesse angulaire de rotation. Cela posé, le 

 rapport h = ^^^ est le pas commun des hélices que 

 décriront les différents points de la figure invariable 



