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des Sciences de Staiiit-Pëfersbourgf. 



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2) Soient deux équations 



auxquelles doit satisfaire le système de vitesses vir- 

 tuelles {k, (ù). 



Considérant encore ce système comme produit par 

 deux rotations autour des axes (L)et (L'), prenons pour 

 le premier un rayon commun des deux complexes 



[K,H,], [KM,] (17) 



c.-à-d. un rayon de la congruence formé de ces deux 

 complexes; on trouvera, comme précédemment, que 

 l'axe conjugué (/;') doit être aussi un rayon de cette 

 congruence. Ainsi: tout système de vitesses vhiuclh'S qui 

 doit satisfaire à deux équations de la forme générale (9) 

 peut être produit au moyen de rotations autour de deux 

 rayons de la congruence (17). 



Pour construire un rayon de la congruence (17) ou 

 déterminera la vitesse d'un point quelconque m due à 

 la translation Sj^ et à la rotation H^ autour du point 

 0, ainsi que la vitesse de ce même point due à la 

 translation ^ et à la rotation H, autour de 0, et on 

 mènera ensuite par m une perpendiculaire au plan 

 de ces vitesses. 



Soient (L,), (L^), (4), (4) quatre rayons de la con- 

 gruence (17) et (r) un liyperboioïde réglé dont (L,), 

 (L,), (L^ sont les directrices. La droite (Lj) rencon- 

 trera (F) en deux points, par lesquels doivent passer 

 deux génératrices {A) et (.4') de cet hyperboloïde, qui 

 représenteront les deux transversales uniques des 

 quatre droites (L;), (L,), (L^), {L^). Elles sont (sui- 

 vant Plûcker) les directrices de la congruence (17) 

 et forment une paire de polaires conjuguées, commune 

 aux deux complexes [K^H^ et {K,H_^. 



Cette dernière propriété des droites {A) et {Â) peut 

 être démontrée ainsi: 



Soient: Ai,A,,A^,A^ les points de rencontre de la 

 droite (A) avec (Lj), [L^], (Lg), (LJ. 



Le point. 4i est le pôle, dans le système (/v,//)) ou dans 

 (K,H.^, d'un plan P^ mené par (Lj); ce plan rencontre 

 (L,) et (L3) en deux points A^ et A^'; la droite AM^' 

 se trouvant avec (LJ dans un même plan , rencontre 

 cette dernière en un certain point A^'; par conséquent 

 la droite A!A^ est une génératrice de (F). La vitesse 

 du point A^ étant perpendiculaire à la droite A^AJ et 

 celle de A, à la droite (L^) ou A^A/, la vitesse de A.^ 



Tome XVIII. 



doit être perpendiculaire aux deux droites A„'A^ et 

 A.'A„-, par cette raison ie point J,' est le pôle du 

 plan A^A^A,, qui contient la droite {A). On trouvera 

 de même que [A.^) est le pôle du plan A^A^A^ qui 

 contient aussi {A). La droite (A) est donc la polaire 

 conjuguée de AjA^ et réciproquement. Le point A^ 

 est le pôle d'un plan qui passe par la droite A^'A^', et 

 comme ce plan doit contenir la droite (L^), ces deux 

 droites ont un point de rencontre A^. La droite A^'Ag, 

 s'appuyant sur les quatre droites: (Lj), (L„), (L3), (L^), 

 doit évidemment se confondre avec {A'). Ainsi {A) et {A') 

 sont deux polaires conjuguées du complexe [/tiHJ et 

 du complexe [luH^l- 



Toute droite (L) qui s'appuie sur les directrices 

 (A) et [A) de la congruence (17) est un rayon de cette 

 congruence. Un autre rayon (L'), ainsi déterminé, re- 

 présentera avec {D deux axes conjugués de rotation 

 pour un système de vitesses virtuelles (k, m). 



Quand les i^aramètres des équations (16) satisfont 

 aux conditions K^H^ = Q QiK,H„ — 0, on peut consi- 

 dérer F, et K^ comme les arguments d'une certaine 

 droite {A), aussi fl^, et ^ comme ceux d'une autre droite 

 {Â). Dans ce cas les rayons du complexe [A'iiy,] sont 

 des droites qui rencontrent {A) et les rayons du com- 

 plexe [/v//,] des droites qui rencontrent (^'); par consé- 

 quent les rayons de la congruence (17) sont les trans- 

 versales des deux droites {A) et {A!). Ces dernières 

 sont donc les directrices de la congruence (17). 



Si les produits /v,//, et Kjl. "^ sont pas nuls, ou 

 peut transformer, comme nous l'avons démontré, les 

 équations (16) en deux autres, pour lesquelles cette 

 circonstance aura lieu. Cela étant fait, et la trans- 

 formation donnant un résultat réel, les paramètres 

 des deux nouvelles équations seront les arguments des 

 deux directrices {A) et {A') de la congruence (17). 



Un point quelconque de la ligure invariable, qui 

 ne se trouve pas sur l'une des directrices, est capable 

 de se déplacer suivant toute direction donnée avec 

 une vitesse arbitraire. Soit m ce point et v la vitesse 

 arbitraire que l'on veut lui communiquer. Il s'agit de 

 prouver, que cette vitesse peut être produite au moyen 

 d'une rotation autour d'un rayon de la congruence. 

 Pour trouver l'axe de cette rotation, menons un plan 

 P par m perpendiculaire à v, et déterminons le pôle 

 Q^ de ce plan relatif au complexe [K^H^] ainsi que 



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