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Bulletin de l'^cad^mie Impériale 



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.son pôle Q.^ relatif au complexe [/ÇH,]^); la droite 

 Ç, Q., sera évidemment un rayon de la congruencc et 

 pourra donc être prise pour l'axe demandé. Le rap- 

 port de V et de la distance de m à Q^ Q^ est la vitesse 

 angulaire de la rotation. 



Si le point m se trouvait sur la directrice (J), le 

 plan P contiendrait cette droite; la vitesse v devrait 

 donc être perpendiculaire à [A). Ainsi toutes les vi- 

 tesses possibles d'un point de la directrice (A) se 

 trouvent dans un même plan perpendiculaire à cette 

 droite; par cette raison le point ne peut se déplacer 

 que sur une certaine surface, dont (A) est une nor- 

 male. IJes points de la directrice {A!) jouissent de la 

 même propriété. 



3) Soient les trois équations 



^--t-X^ = 0, Hjc-t-K^^^O, llJc-^-K^^O (18) 



auxquelles doit satisfaire le système de vitesses vir- 

 tuelles {k, (ù). 



Supposons encore que ce système de vitesses peut 

 être produit au moyeu de deux rotations autour des 

 axes (L) et (L'), et prenons pour le premier un rayon 

 commun des trois complexes: 



[K,H,], [K,H,], [K,H^] (19) 



Nous trouverons, comme précédemment, que le se- 

 cond axe (L') est aussi un rayon commun des com- 

 plexes (19). Par conséquent: tout système, de vitesses 

 viHuelles qiiidoit satisfaire aux trois équations (18), j^ent 

 être produit au moyen de rotations autour de deux rayons 

 communs aux trois complexes (19). 



Or, les rayons communs des complexes (19) sont 

 les génératrices d'un hyperboloïde réglé (F), dont les 

 trois directrices sont -prises parmi les directrices des 

 congruences: 



\[K,H,l [KM}\, \[K,H,l [K,H,% \[K,H,l [K,H,]\, 



car un rayon commun des complexes (19) doit appar- 

 tenir à chacune de ces congruences, et par conséquent 

 s'appuyer sur leurs directrices. 



3) Si les directrices (A) et [A') de la congruence (17) sont réelles, 

 les points Q^ et Ç, seront les traces 'de ces droites sur le plan P. 

 Mais si (^4) et [A") sont imaginaires, on peut trouver les pôles Qy et 

 Ç2 par le moyen suivant: on déterminera les vitesses a et 6 de 

 deux points quelconques A et B du plan P dans le système de vi- 

 tesses (KyHy) et on construira les plans qui ont ces points pour 

 pôles; l'intersection de ces nouveaux plans avec P donnera le point 

 demandé Q,. 



Si, pour toutes les trois équations (18), la condition 



J{.H^=: est satisfaite, les paramètres H^ et K^ peu- 

 vent être considérés comme les arguments d'une 

 droite {A^) qui est un rayon du complexe [le, «] cor- 

 respondant à un système quelconque de vitesses vir- 

 tuelles. On aura ainsi trois droites {A^), (Ao), (.dg) qui 

 peuvent être prises pour les directrices de l' hyperbo- 

 loïde (r). Deux transversales (L) et {L') de ces trois 

 droites seront donc deux axes conjugués de rotation 

 pour un système de vitesses virtuelles. 



Si la condition H^K^ = n'a pas lieu pour les trois 

 équations (18), on pourra transformer ces équations 

 en trois autres, pour lesquelles la condition dont il 

 s'agit sera satisfaite. Et quand la transformation sera 

 réelle , on déterminera , comme précédemment , au 

 moyeu des paramètres des équations transformées, les 

 directrices de l'hyperboloïde (T). 



Ou peut encore déterminer deux génératrices de (F) 

 par le moyen suivant: prenant une droite quelconque 

 {A}, on déterminera sa conjuguée relative à chacun 

 des complexes (19), ce qui donnera quatre droites: 

 (A), (Ji), (A^), (As), dont les deux transversales uniques 

 (L) et {L') seront évidemment des rayons communs 

 des complexes (19), et par conséquent des génératrices 

 de (F). 



Tout point m de (F) ne peut se déplacer que sur une 

 surface déterminée. En effet, si (L) et (L) sont deux 

 génératrices de (F), ou deux rayons communs des com- 

 plexes (19); et (^4) une transversale de (L)et(L'), menée 

 par le point m, la droite (A) rencontrera toutes les 

 autres génératrices de (F) du même mode de génération 

 que [L) et (L'); par conséquent elle doit être perpen- 

 diculaire à toutes les vitesses de m produites au 

 moyen des rotations autour de ces génératrices, c.-à-d. 

 à toutes les vitesses possibles du point m; par consé- 

 quent ce point ne peut se déplacer que sur une cer- 

 taine surface, qui a la droite (A) pour normale au 

 point m. 



Un point m qui ne se trouve pas sur l'hyperboloïde 

 (F) est capable de se déplacer suivant toute direction 

 donnée. Soit v une vitesse de direction donnée, qu'on 

 veut communiquer au point m, et (P) un plan perpen- 

 diculaire à V mené par m. Ce plan coupera l'hyperbo- 

 loïde (F) suivaut une courbe de second degré (S); et 

 une droite (A) menée dans ce plan par m rencontrera 



