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des Sciences de Saint- P^lersiboui's:. 



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(S), en deux points, par lesquels passeront denx f^éné- 

 ratrices (L) et (L') de (F), qui peuvent être considérées 

 comme des axes conjugués de rotation d'un système 

 de vitesses virtuelles. Cola posé, menons par m et 

 chacune de ces- droites deux plans; les perpendicu- 

 laires à ces plans, menées par jh, représenteront les 

 directions des vitesses m et tv, dues aux rotations au- 

 tour des axes (L) et {L'); on aura ainsi trois droites 

 V, u, w, lesquelles étant perpendiculaires à une même 

 droite [A), se trouveront dans un même plan ; par con- 

 séquent la vitesse v peut être décomposée en deux 

 autres M et w qui peuvent être produites au moyen 

 des rotations autour de {L) et (L'), avec des vitesses 

 angulaires égales au rapport des composantes u et w 

 aux distances respectives de m à [L] et {IJ). 



M. Mannheim prend pour exemple d'une figure 

 invariable assujettie à trois conditions un trièdre à 

 angles droits, dont les plans doivent toucher un el- 

 lipsoïde immobile à trois axes inégaux. 



Monge'') a démontre que le sommet du trièdre 

 ne peut se déplacer que sur une sphère de même centre 

 que l'ellipsoïde ; par conséquent ce point doit être , en 

 vertu de ce qui vient d'être démontré, sur l'hyperbo- 

 loïde (r), engendré par le mouvement d'une droite qui 

 s'appuie sur les trois normales à l'ellipsoïde élevées 

 des points de son contact avec le trièdre. Chaque autre 

 point, lié invariablement au trièdre, est capable de se 

 déplacer suivant toute direction donnée. 



4) Soient les quatre équations: 





K,(ù 



0, 



■/igW = 0, 





A;m=:0,( 



( 



K^a=r-0 j 



(20) 



. auxquelles doit satisfaire le système de vitesses vir- 

 tuelles (k, 6)). Dans ce cas on peut produire ce système 

 au moyen de rotations autour de deux axes (L), {L'), 

 qui sont des rayons communs à quatre complexes 



[/v,//,l, [luH,], [K,H,\, \K,H,l. . . . (21) 



ou, ce qui revient au même, des rayons communs 

 aux congruences que l'on peut former en combi- 

 nant ces complexes deux à deux; par conséquent, si 

 (J,) et (A^) sont les directrices de la congruence 



|/\', //,], l/Vj/ZJ, (ylg) et (A^) celles de la congruence 

 [Ag/Zg], \K^H^], les deux transversales uniques (L) et 

 (L') des quatre droites {A^), (A'^), (A^), (A^) seront 

 des rayons communs aux complexes (21), et peuvent 

 être prises ])our les axes conjugués de rotation d'ini 

 système de vitesses virtuelles. 



Chaque point m qui n'appartient par aux droites 

 {L) et (L') est capable de se déplacer seulement sur 

 une surface déterminée. En effet, tontes les vitesses 

 possibles du point m doivent être perpendiculaires à 

 la transversale de (L) et (//), menée par m, par con- 

 séquent le point m ne peut se déplacer que sur une 

 surface, qui a cette transversale pour normale au 

 point VI. 



Chaque point de l'une des droites {L) et (L') ne 

 peut se déplacer que suivant une direction détermi- 

 née; parce que toutes les vitesses possibles d'un point 

 de (L) peuvent être produites au moyen de rotations 

 autour d'un même axe (7/), et toutes les vitesses d'un 

 point de {L') au moyen de rotations autour d'un même 

 axe (L). 



On peut déterminer les droites (L) et {L'), en con- 

 struisant les deux transversales de quatre normales 

 Ni, A'o, iVg, N^ aux surfaces, sur lesquelles sont ob- 

 ligées de se déplacer quatre points quelconques de 

 la figure invariable. 



Si la condition Z/,.A^ = est satisfaite pour les 

 quatre équations données (20), ou peut considérer 

 K et H comme les arguments d'une certaine droite 

 A^ commune à tous les complexes possibles [k, u]; 

 on aura ainsi quatre droites' [A^ (^2); (^3)1 (^4) ^* 

 on pourra prendre pour (L) et (L') les deux trans- 

 versales de ce système de quatre droites "). 



5) Supposons enfin que le système de vitesses vir- 

 tuelles (/.-, «) doit satisfaire à cinq équations; 



HJc^K\(ù = 0, HJC'*-K,(ù^O,...Hj'^-^Kr,<ù = (22) 

 Dans ce cas ce système sera unique, et répondra à 

 un complexe déterminé [A-, «]. Combinant les com- 

 plexes 



[A',H,], [K,H,], [K,H,], [R\H,], [KJQ 



4 à 4 et déterminant, comme précédemment, pour 

 chaque combinaison ses paires de rayons communs, 

 on aura les 5 paires de droites: 



4) Application de l'algèbre à la géométrie, par MM. Monge et 

 Hachette. Paria 1813, p. 234. — Poisson, Correspondance de 

 l'École polytechnique, rédigée par Hachette, T. I, p. 240. 



5) Mannheim, Étude sur le déplacement d'une figure de forme 

 invariable. Nouvelle méthode des normales. 



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