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Bulletin de rAcadémie Impériale 



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sieurs variables, dont les valeurs ont été obtenues par 

 une série d'observations , exprime le poids de la déter- 

 mination à l'aide d'une fonction homogène quadratique 

 de plusieurs variables, et réduit ensuite cette fonction 

 à une somme de carrés de fonctions linéaires, dont la 

 forme est telle, que la première contient toutes les 

 variables, celles qui la suivent contiennent une va- 

 riable de moins, celles qui suivent la seconde contien- 

 nent encore une variable de moins, ainsi de suite jus- 

 qu'à la dernière, qui ne contient qu'une seule variable, 

 celle qui se trouve dans toutes les fonctions précé- 

 dentes'). Il y a beaucoup d'autres questions d'analyse, 

 dans lesquelles se présente ce même mode de ré- 

 duction d'une fonction quadratique. Caucby, Her- 

 mite et Brioschi se sont servi de la forme ré- 

 duite pour déterminer le nombre des racines réelles 

 d'une équation algébrique, et dans un mémoire de 

 Brioschi: sur les séries qui donnent le nombre de 

 racines réelles des équations à une ou plusieurs incon- 

 nues-) on trouve une démonstration de la possibilité 

 d'une telle réduction et des formules générales pour 

 déterminer les coefficients de la substitution ainsi que 

 ceux de la forme réduite. Les mêmes formules peu- 

 vent être aussi tirées de celles que donne Jacobi 

 à la fin de son mémoire : Uéber eine elementare Trans- 

 formation eines in Besug uufjedes von swei variaUen 

 Systemen linearen und homogenen Ausdrucks% 



Dans la note que j'ai l'honneur de présenter à 

 l'Académie, je donne un autre moyen facile d'obtenir 

 les formules générales relatives à la réduction dont il 

 s'agit. 



2. Soit une fonction quadratique homogène de m 



variables a;, , a;,^ . . . x, 



m' 



M^r^*)' 



(I) 



oîi a —a : proposons-nous de la réduire à la forme 



rs sr 



canonique 



telle, que les variables |, , |^ . . . |^ 

 linéaires de la forme 



soient des fonctions 









Ç.= 



j = r 



rs*J 



t„ = 



0.^ «. ^«. r 



(3) 



Le résultat de la substitution des expressions (3) à 

 1^, la- • -^m ^^"^^ (2) ^^^^ "^^ fonction de iCi , iCj, . . , 33^ 

 qui doit être indentique à (1); cela posé, en égalant les 

 coefficients du produit x^x^ dans les deux fonctions, 

 on aura l'équation 



où s ^ r. Prenant pour les indices r et 

 les valeurs qu'ils peuvent recevoir, on aura 

 équations. Ce nombre étant égal au nombre des in- 

 connus Z/,.^, la transformation, parlant généralement, 

 sera possible et déterminée. Il reste à résoudre ces 

 équations par rapport aux h^^. 



La forme du second membre de l'équation (4) fait 

 voir que le dcscriminant de la forme primitive (1) 



s toutes 



m [m -y- 1) 



«11 «,2 

 «21 «22 



l,m 



a 



»n,l m, 2 • 



(5) 



est le carré du module de la substitution (3), savoir 



o&„„. 



0. 



3, m 



0...&, 



m, m 



^,^2■ 



6,,. 

 00., 



■ h. 



2, m 



0. ..&, 



= &^,^'^2• 



m, m I 



1) Supplementum theoriae combinationis observatiouum (Comm. 

 récent. Soc. G5tt. VI, 1823-1827). 



2) Nouvelles auuales de Mathématiques. ï. 15, 1850. 



3) C. G. J. .Tacolii, Matlicmatische Werko. Band III. Crelle 

 Journal. Bd. 53. 



ce qui s'accorde avec la propriété générale des inva- 

 riants, en vertu de laquelle le descriminant d'une 

 forme quadratique, étant un invariant, doit être égal 

 au produit du descriminant de la forme transformée 

 (2) par le carré du module de la substitution. 



L'équation (4) montre encore que le déterminant 



mineur 



«H «12 «.,r-l «M 



«22 «22 «2,r-1«2,. 



r.i r,2 



•«r,r-i «r,* 



(0) 



