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d«9 IScieuves de Saint •Pëtvrsbourfi. 



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est égal au produit 





0...0 





-b'nK,K-.,r^,KrKs 



0...0 h^ 



Par conséquent, désignant, pour abréger, le détermi- 

 nant (6) par (rs), on aura 



(/•s) = 6^,6^,...6^_,,_,6,,&„, (7) 



d'où l'on tire 



('•-l,'-l) = i^,6\,...6^ 



irr)==KK- 



r — 2,r- 



,,.-,(8) 



•&^-.,r-,n,r (0) 



Divisant ensuite (7) et (9) par (8) on trouve 



ce qui donne les formules 



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rr (r_l, r— 1)' 



r>^ 



(r.-)^ 



(10)") 



(r — 1, r-l)M»->-)' " (r-\,r-\Y 



pour exprimer les coefficients de la substitution (3) 

 en fonctions des coefficients de la forme primitive (1). 

 Cela fait, on aura l'expression suivante de la forme 

 réduite (2) 



a,, L " » 



«.2^2 



^l.m^ntl 



-^ (r-l,r-l)(r,,) K^'^)^r-^(^-.^-^l)^r-^.-^-('-.»03-J' 



(?», m) Xm' .... 



(m — l, m — 1) ^*'/ 



On voit par les formules (10), que la réduction sera 

 parfaitement déterminée quand le déterminant (5) et 

 tous ses déterminants mineurs ne sont pas égaux à 

 zéro. S'il y a dans la série 



l,«,p(22),(33) im,m) (12) 



des valeurs négatives, il y aura parmi les coefficients 

 b^^ des imaginaires; mais ces imaginaires disparaissent 

 dans la réduite (11), et cette forme aura des carrés 



4) Dans le cas de r = 1 il faut poser (r — 1, r — 1) = 1. 



avec dos coefficients négatifs, dont le nombre est égal 

 au nombre des variations de signe dans la suite (12), 

 ce qui constitue le théorème de Cauchy. 



Quand la valeur do Tne peut s'évanouir pour aucun 

 système de variables x^, x,^. . . . x^ et reste positive, 

 alors tous les termes de la série (12) sont différents de 

 zéro et positifs. C'est précisément le cas qui se pré- 

 sente pour la forme considérée par Gauss dans la 

 méthode des moindres carrés. 



Substituant dans (4) les valeurs de h^.^ et 6^^, don- 

 nées par les formules (10), on aura l'équation 



f, ^ "irais , (2r)(2s) {3r){3s) {rs) ^,o, 



r> a„ a„ (22) '*' (22) (33) ~*~ (r-l,r-l) ^ ' ^) 



qui peut servir pour calculer facilement les valeurs 

 des (/s). C'est de cette formule générale que l'on 

 peut déduire les formules de Gauss relatives au 

 calcul des quantités qui sont désignées dans le 13 

 article du supplément cà la théorie de la combinaison 

 des observations'*) par 



ihb,l),{hc,l),{bcl,l),.... 



(ce, 2), {cd, 2), . . . . 



{(îd, 3) 



Pour montrer l'accord des résultats que nous ve- 

 nons de trouver avec les formules citées, il faut, con- 

 formément aux notations de Gauss, poser 



T= {aa)x' -t- 2 (ab)xy -+- 2 {ac)xs -^-. . . . 



(hh)if-t- 2 (hc)y3 -t- (cc)^2_j_ 



et par conséquent 



Xi = x, x., = y, Xs = 2, x^ — ^v, 



ft,j = («ffl), «12 = {ah), n,3 = («c), a^^={ad) 



«22 = (*^)) ^23 = (^C)) «24 = ^^ • • • • 

 «33 = (ce), «34= (ci) 



a^^ = {dd) 



(6M)=5, (m)=p, (Hi)=^|i'l 



(ce, 2): 



l 



(33) 

 (22) 



, (Crf, 2) 



(34) 

 (22) 



(14) 



^ ^" ^ '^' ^ ={22)' ' 



(si)- • (15) 



A l'aide de l'équation (13) on trouve les formules de 

 Gauss: 



5) Présenté le 16 septembre 1826 à la Société de Gôttingue. 



