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x — ii>'t<C. o, l'intégrale de (3i), savoir ^ = une fonction de ^ — w! t, y 

 devient simplement (|/ = o à raison de la donnée d'état initial, qui annule A 

 et i]/, quand t s'annule, pour toutes les valeurs respectivement positives ou 

 négatives de x. Dès lors, l'équation (3o) a elle-même pour intégrale 

 A = F(a7 — cof), où la fonction F, nulle (au moins sensiblement) pour les 

 valeurs soit positives, soit négatives de sa variable, en vertu de la même 

 condition d'état initial, reste arbitraire pour les valeurs respectivement 

 négatives ou positives de cette variable x — lùt. 



» L'équation (28), ainsi devenue -j- [IIU'— (co — LJ)''*] = o, montre 



que l'expression IIU' — (w — U)A est nulle partout, comme aux points du 

 canal que l'onde n'a pas encore atteints; et il vient, en définitive, pour la 

 solution cherchée, vérifiant d'ailleurs (27) non moins que (28), 



(34) h=^Y{x — ^t), ^'='^^^h. 



» VI. D'après ces formules, la constante w, définie par (3^) et (33), est 

 la célérité (ou vitesse de propagation) des ondes. Or, en négligeant des 

 termes très petits de l'ordre de ri'-, les relations (33) et (32) donnent 



3(a — i) — 5tj"]/ a — I — 2T| U 



(35) 



]u=^0---"-^^^^S)v«^ 



= U± v/«^-l- ^ufSi -£=') --.u^^ -^ ^ -- ^^°" 



\Jgnj \2 v^-H u 



>> D'autre part, les formules (3^) de mon Étude de l'année dernière (' ) 

 donnent de leur côté, pour exprimer la distribution des vitesses u aux 

 diverses profondeurs relatives C, dans notre cours d'eau très large, 



(36) ii = i-i-fv/^(i-(:^) = .^-(^-.)(.-3(:^). 



En élevant le troisième membre soit au carré, soit au cube, puis multipliant 

 par d'(,, intégrant de "C = o à (^ = i, et retranchant enfin l'unité, nous aurons 



4/"/,, .\'- . o.. 2 



(37) ■''=-l\lJ~-')^ oc-i = 3-/,-^r,v'5-.. 



Substituons dans le dernier membre de (35) cette valeur de x. — i, puis 

 celle der,, et il viendra, comme expression générale de la célérité <o des 



;') Comptes rendus, t. CXXIII, p. 12; 1" juillet 1896. 



