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sont semblables sur toute la surface lorsqu'elle est isothermique. Nous 

 dirons qu'tme surface est isométrique lorsque les lignes de courbure for- 

 meront un système isométrique. 



» Cela posé, supposons que t et a soient les paramètres des lignes de 

 courbure et soit A.>^dt- + il\,V/a* la partie principale du carré delà distance 

 des points de la sphère de rayon i où les plans tangents sont parallèles 

 respectivement aux plans tangents en t, u et en / -f- dt, u -+- du. On a 



R et R, désignant les rayons de courbure principaux. 



» Si la surface est isométrique ou si la représentation sphérique est 

 isométrique, / et // étant les variables isométriques, on a 



» Sur la sphère, il y a une infinité de systèmes isométriques, et la loi de 

 variation des petits rectangles est arbitraire. /(») étant donnée, il suffira, 

 en effet, de satisfaire aux trois équations 



X' = OP... ^' = ^f{v), Xll'o = _ ^ _ ^^ [f{^) v\^, 



les accentuations sans indices indiquant les dérivations par rapport à r. 



» Les surfaces correspondant à une fonction y^(^') donnée peuvent se 

 diviser en deux classes : 



)) i" La représentation sphérique est isométrique en même temps que la 

 surface ; A,, i)!». A, B sont fonctions de r. On peut prendre pour .\, une solu- 

 tion quelconque de l'équation X" — /(c)'^' ^= ^ » P"i^ ""^ ^ 



!)>, = x' , XX' — — fv'l, — v'I, — /'('j'"; 



la dernière équation détermine les valeurs de v possibles. Puis 



A = C.l/^ + C, .(.„ B = A' = C ( j + .<•■/$) + C, .C, 



les surfaces sont parallèles ; ce sont les surfaces de Weingarten. 



» 2° La représentation n'est pas isométrique ; ni X, ni o!. ne sont fonc- 

 tions de V. 



