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 » X, ift), i' sont un système de solutions des équations simultanées 



(i) x'„ = '\s\,ii, x%\=f.xv\, ,^^ = _(/;,_/(.;; _/v;-. 



» On a, A, étant une solution de l'équation 



a;-/a, = o, a = c,a, + CA, I"^, E = A', 



R = C, -fi 4- C 



A, rdv V 



» Les surfaces ne sont pas parallèles; les rayons de courbure ne sont 

 pas fonctions l'un de l'autre. Quelle que soit la fonction/(('), il y a tou- 

 jours de ces dernières surfaces simplement isométriques. On le voit en 

 cherchant à satisfaire aux équations simultanées (i) en prenant pour v une 

 fonction de la forme F (/) + u, ou de la forme t 4- F (?<). 



» J'ai dit, dans ma dernière Note, que certaines surfaces étaient appli- 

 cables les unes sur les autres avec conservation des rayons de courbure 

 principaux ; mais de telles surfaces ne peuvent être différentes, contraire- 

 ment à une opinion reçue (Darboux, Leçons sur la Théorie des surfaces, 

 p. 383 et suiv.). En effet, pour toute surface admettant l'élément linéaire 

 k-dt- + V>'^du'^ (^voir ma Note du 5 avril), on a 



Aa„-h {a — l')K=- B.?; -t- 2cB;, Bl>',-h(h - a)B; = Ac'„ + 2cA'„, 



AB(a/.-c-)=-^-^---j^. 



)) Par hvpothèse, on pourrait faire c := o et prendre pour second système 

 de solution les valeurs de a, b, c 



a-h b a — b a -h b a — b a — b . 

 1 cos2(p, cosaç, smaç; 



d'où 



1 

 (a^b): 



(a — Z*)[Bcos2<pç^ — Asin 2ç(p',J= Asiu'-o(a — />)„ — Bsin2ç 

 (a — i)[Bsin2cpo^ + Acos2ç'p'„] = — Bsin=o(a — b)'^ -|- Asin 29 



)) Ces équations n'admettent la solution 9 = coust. que dans le cas de 

 la sphère. » 



