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MÉCANIQUE AXALTTIQUE. — Sur les petits mouvements périodiques des systèmes 

 à longue période. Note de M. P. Painlevé, présentée par M. Picard. 



« Dans une Note antérieure {Comptes rendus, 3 1 mai 1897) j'ai étudié les 

 petits mouvements périodiques d'un système dans le voisinage d'une posi- 

 tion d'équilibre stable x, = x„ = . . . = x^= o. Si la fonction de forces 



\]{x ccn) est nulle et holomorphe pour x ^ — x., = . . . — x^= o Gl si 



son développement commence par des termes du second degré en x , 



Xn, j'ai montré qu'il existe en général, dans le voisinage de la position 

 X —...— Xn=o, une infinité de petits mouvements périodiques réels, 

 dont la période tend vers une limite quand l'amplitude tend vers zéro. 



» Qu'arrive-t-il si le développement de U commence par des termes de degré 

 supérieur au second? Il est facile de voir qu'il ne saurait alors exister de 

 petits mouvements périodiques dont la période reste finie lorsque l'ampli- 

 tude tend vers zéro. Mais si U est maxima pour .r, = . . . = a?„ = o, «/ existe 

 en général une infinité de petits mouvements périodiques réels, dont la période 

 croît indéfiniment lorsque V amplitude tend vers zéro. 



» L'exemple le plus simple où apparaissent des solutions périodiques de 

 cette nature est celui de l'équation 



—r- = — k-X^ . 

 (il- 



Mais il semble, au premier abord, que l'existence générale de telles solu- 

 tions doive être difficile à démontrer. 



» En effet, les méthodes de Poincaré exigent que la période des mouve- 

 ments considérés reste inférieure à une limite a : pour | ^ |< a, les dévelop- 

 pements qu'il faut employer convergent uniformément tant que les para- 

 mètres et constantes qui interviennent dans la question sont, en modules, 

 inférieurs à une certaine quantité p, et c'est là le fondement de la méthode; 

 mais, quand a croît indéfiniment, p tend en général vers zéro. Dans le pro- 

 blème qui nous occupe, un artifice bien simple permet néanmoins de sur- 

 monter cette difficulté. 



» Tout d'abord, si U est maxima pour a;, = 3^2 = ... = a;„ = o, son dévelop- 

 pement commence par des termes de degré pair : soit ir ce degré (r> 1). 

 De plus, une transformation linéaire réelle effectuée sur a-, x^ ramène 



