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 les équations du mouvement à la forme 



a;; = X,4-a;,X,,,+...-t-a;„X„,,+n,(a- ,x^,x\,...,x[,), 



xl = a^aX,,, + . . .+ a7„X„,,, + Ho (a; x^,x\,. ..,<), 



^1= a;.Xo,„4-... + ^„X„,„-Hn„(a;,, ...,x^,x\, ...,x\^), 



où les X,j sont des fonctions de ^,, ..., x„ qui commencent par des termes 

 de degré (ar — 2); X, est une fonction de x^ qui commence par un terme 



de la forme — Px\''~^ ; les H,- sont des formes quadratiques en x\ x,^. 



» Ceci étant, posons 



'=-jj7i=i' x^ = l^?l^, x^=zit}l.^, ..., x^=[x^l^, 



[A désignant une constante. Les équations (i) deviennent 



( 'W' = ^r'(«^,y^2 +• •• + ««jH„) +. . . (/ = 2, 3 «), 



les termes non écrits s'annulant avec ;/,. Pour j^. = o, les équations (2) 

 admettent une infinité de solutions périodiques définies par les égalités 



(3) 0= /•'__£l^, ^,^0, .... 1=0, 



vA^^ 



où c est une constante arbitraire. Soit co(c) la période de la fonction 

 ^, = 9i(^. <^) définie par (3). Pour [J. = o, l'intégrale générale de (2) s'ob- 

 tient en remplaçant l^ par cp, (0, c) dans les (n — i) dernières équations (2) 

 qui deviennent alors (« — i) équations linéaires (2)' en ^2, ..., E,j, à 

 coefficients périodiques. Si je me borne au cas général, je puis admettre 

 qu'aucun des exposants caractérisliques de (2)' n'est nul identiquement 

 pour toute valeur de c (' ). 



» Donnons maintenante [a de petites valeurs : le système (2) admettra- 

 t-il des solutions périodiques de période w 4- -: (t désignant une quantité 

 très petite)? Si l'on exprime que, pour û = oj + t, les variables ^,, . . ., ^„, 



C) i\ous supposons, en définitive, que A^ et les exposants caractéristiques de (2)' 

 sont différents de zéro : ces conditions ne sont en défaut que dans des cas excep- 

 tionnels. 



