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U étant la fonction des forces. Je me propose d'étudier à un point de vue 

 nouveau les solutions périodiques de ces équations. La trajectoire qui 

 correspond à une solution périodique sera une courbe fermée (ï). 



» A chaque solution périodique correspondront deux exposants caracté- 

 ristiques, égaux et de signe contraire. Si ces deux exposants sont imagi- 

 naires, la solution périodique sera stable; s'ils sont réels, elle sera instable. 

 Mais la considération du principe de moindre action va nous conduire à 

 pousser plus loin cette classification et à distinguer deux sortes de solutions 

 instables. 



» On sait, par le principe de Maupertuis, que l'intégrale 



J = l\l\] -hhds. 



appelée action, est plus petite pour une trajectoire satisfaisant aux équa- 

 tions (i) que pour une courbe infiniment voisine ayant mêmes extrémités. 

 Cela est vrai si ces deux extrémités sont très voisines l'une de l'autre; 

 mais, en général, tout ce que nous savons c'est que la variation pre- 

 mière o3 de l'inlégrale J est nulle. 



» C'est là une condition nécessaire, mais non suffisante pour qu'il y ait 

 minimum. 



» Si l'on veut pousser plus loin la discussion, il faut avoir recours à la 

 notion des foyers cinétiques dont je vais rappeler la définition. Soit M un 

 point situé sur une trajectoire T; par ce point je mène une autre trajectoire 

 infiniment voisine de T; si cette trajectoire vient recouper T en un 

 point M', ce point M' sera le foyer de M. 



» L'étude des foyers cinétiques, dans le cas des solutions périodiques, 

 m'a conduit aux résultats suivants : 



» Supposons d'abord la solution périodique stable; soient * l'arc de la 

 trajectoire fermée (T) correspondante, compté à partir d'une origine quel- 

 conque, et S la longueur totale de cette trajectoire. Il existera une fonc- 

 tion /(y) constamment croissante, augmentant de 2r. quand s augmente 

 de S, de telle sorte que 



/(. 4- S) =/(.) + 2^. 



» La relation entre la valeur s de l'arc correspondant à un point M 

 de (T) et la valeur s' correspondant à son foyer M' sera 



/{s' ) =:;/"(a-) -h CUnst. 



