)' Si la solution périodique est instable, deux cas sont à distinguer : La 

 solution sera de la première sorte, si aucun point de la trajectoire n'a de 

 foyer. Alors les trajectoires correspondant aux solutions asymptotiques 

 seront des courbes spirales s'enroulant autour de (T) et s'en rapprochant 

 asymptotiquement. 



)) Les spires de ces courbes spirales ne coupent pas (T) et ne se 

 coupent pas entre elles, au moins si l'on se borne à la partie de la courbe 

 qui ne s'écarte pas trop de (T). 



» Mais un autre cas peut se présenter et nous dirons alors que la solu- 

 tion périodique instable est de la seconde sorte. La courbe fermée (T) sera 

 divisée en un nombre pair d'arcs; soient 2/) ce nombre et A^, A,, . . ., Ao^., 

 les points de division. Pour plus de symétrie dans les notations, je dési- 

 gnerai indifféremment le point A^ par les notations A^, A^.^,^, Ag_^.,p, .... 



» 1° Le point Ay+, sera le foyer de A^. 



» 2° Si un point M est sur l'arc A^A^^.,, son foyer sera sur l'arc 

 A A 



"q+l ^q-t-2' 



» S'* Soient M, le foyer de M, M, le second foyer de M, c'est-à-dire le 

 foyer de M,, M^ le y'"""' foyer de M. Si le point M est sur l'arc A,, A,, il en 

 sera de même des points M^p, M,^, . . ., lSUi,p, ... et ces points se rappro- 

 cheront indéfiniment et constamment de l'un des points Ao ou A,. 



» 4° H existera sur l'arc A^A, un point B^ qui coïncidera avec son a/j'^™® 

 foyer et, quand k tendra vers — a:, le point M_2Ap se rapprochera indéfini- 

 ment de B,,. 



» Les solutions asymptotiques sont représentées alors par des courbes 

 qui ne présentent plus la même forme que dans le cas précédent : elles 

 coupent une infinité de fois la courbe (T), et les points d'intersection 

 admettent comme points limites le point Ap et ses foyers ou le point Bo et 

 ses fovers. 



» Cela posé, il y a deux faits sur lesquels je veux appeler l'attention : 



)> 1° La condition nécessaire et suffisante pour qu'une solution pério- 

 dique représentée par une courbe fermée (T) corresponde à une action 

 moindre que toutes les courbes fermées infiniment voisines, c'est que cette 

 solution soit une solution instable de la première sorte. 



» 2° Supposons que l'on fasse varier d'une façon continue la fonction U 

 et les conditions initiales du mouvement et que l'on envisage une solution 

 périodique variant aussi d'une manière continue. On ne pourra jamais 

 passer directement d'une solution instable de la première sorte à une solu- 

 tion instable de la deuxième sorte; on pourra passer seulement d'une 



