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 où S^_;i[2-.4"- -{"^p — 2)-] désigne la somme des produits p — h ix p — h 

 des nombres 2". 4" •••(-/' — 2)-; Sp_;i[i-.3-. . .(2/; — i)-] ayant une signifi- 

 cation analogue. 



» Il existe, entre les coefficients C et C et quatre autres séries de coef- 

 ficients analogues, des relations récurrentes, qu'il serait trop long de repro- 

 duire ici, relations qui comprennent comme cas particuliers les relations 

 de M. Gruey et de Th. von Oppolzer. » 



GÉOMÉTRIE. — Sur la théorie générale des surfaces. 

 Note de M. A. Pellet. 



« Les coordonnées cartésiennes X, Y, Z étant données en fonction des 

 paramètres U, V, supposons qu'en un point ces fonctions s'expriment en 

 séries ordonnées suivant les puissances croissantes des accroissements u, 

 t' de U et V, et que la quantité 



\ d{Y,7.) Y , r^(Z,X)T- rt)(X.Y)y- 



soit différente de o. Rapportons la surface à trois nouveaux axes rectangu- 

 laires X, y, z passant par le point, le nouvel axe des z étant la normale à 

 la surface. Les coordonnées x,y, z du point u, v sont des fonctions holo- 

 morphes de ces variables, s'annulant avec elles, z ne contenant pas de 

 terme du premier degré; posons : 



a? = a?, + a:, + . . . -H .r„ + . . . , y = y, + y^-J^ . . . -\- y„ + 



z =:r, (Dw- -t- 2D'm' +■ D'V" ) + ^., -h . . . 4- :;„ -I- . . . , 



Xn, y„, z^ étant des fonctions homogènes de degré n en u et c. 



» ^(Df/U- + 2D'f/LJf/V+ D'V/V^) est la valeur principale de la distance 

 du point U -t- du, Y -{- dV au plan tangent en U, V ; soit 



Edir- -+- 2F du dV + GdV- 



la valeur principale de la distance des points U, V et U 4- dU, V + dV. 

 Pour le point ?/, t-, on a deux expressions de ces valeurs principales; dans 

 l'une les coefficients de du-, dudv, dv- sont exprimés à l'aide des dérivées 

 des fonctions a?, j', ;; ; dans l'autre, ces coefficients sont les valeurs des 

 fonctions D, D', D", E, F, G correspondant k U -h u, Y -h i>, valeurs qui 

 sont données en séries par la formule de Taylor. Les différence des 6 coef- 



