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ficients correspondants sont donc des fonctions de u, r nulles, ce qui permet 

 d'exprimer les coefficienls de x,y, z à l'aide des 6 fonctions D, D', D", 

 E, F, G et de leurs dérivées, et l'on obtient en outre des relations diffé- 

 rentielles entre ces fonctions. 



» En égalant à o les termes indépendants de u, v, on a 3 équations 

 entre les coefficients de a;,,j', ; le choix de l'un d'eux reste donc arbi- 

 traire : ce qui correspond à l'indétermination de l'axe des x dans le plan 

 tangent; le choix étant fait, en égalant à o les termes du premier degré, on 

 obtient entre les lo coefficients dea-%, y.,, s.,, 12 équations qui déterminent 

 ces coefficients et donnent en outre deux relations différentielles; en gé- 

 néral, en égalant à o les termes de degré n — i, on obtient 6n équations 

 entre les 3/1 + 4 coefficients de a;,,, y„, z■,^^^ ; ces équations permettent 

 d'exprimer ces coefficients à l'aide des 6 fonctions D, D', D", E, F, G et de 

 leurs dérivées, et donnent en outre 3n — 4 relations différentielles entre 

 ces 6 fonctions. Ces relations différentielles sont des conséquences de 

 trois d'entre elles bien connues; mais la méthode que j'indique offre cet 

 avantage de donner l'équation de la surface relativement au système de 

 coordonnées x, r, :;. 



» En particulier, supposons les courbes de paramètres U et V rectangu- 

 laires, les axesdesa^etdesj tangents à ces courbes, et soit A*f/U^ -}- B^rfV" 

 le carré de l'élément linéaire de la surface; prenons pour variables indé- 

 pendantes X et y au lieu de u et v, et posons 



z = \ (ax- H- hy- + icxy) +=,,+...+ ::„ + ..., 



z„ étant une fonction homogène de .r, y de degré n. On a 



P» 



is 



U-- -i A' -"^-^ 4- 2A' ^ - B' i^ 



y _}_( A ' ^ , R' •^^ R' y"^ 



^ ~ B 2B l ^v AB + 2 liu ^^ +• liv gi 



-L= = «, + 2c/, s;,,, = h, - icf, zl.^. = c, — (a — h)/. 



/désignant la fonction ^'jj(Ava7 — B^J'), a, la fonction 777 A "*" IV 1^' 

 et b,, c, des expressions analogues pour b et c. De là résultent les relations 



U) 



1 da i de b — a , 2c. 



BàV^XJXÎ^ "ÂB^^v"*" AB 



1 db I de a — b . , 2c . , 



