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de M. Weingarten, précise, dans une certaine mesure, le degré de diffi- 

 culté de la question dès que l'on s'écarte des cas connus. 



)> Conservons toutes les notations du Livre VJII, Chapitre XIII, des 

 Leçons de M. Darboux, et supposons que l'on prenne pour la surface (0,) 

 le paraboloïde qui est défini par les équations suivantes, où m est une 

 constante, 



oc, = 11, X, + iz, — V, j, — iz,= ~ - ^^—m-v, 



et qui est tangent au plan de l'infini en un point du cercle de l'infini. La 

 fonction <p(/^, y) aura alors pour expression 



?(/^''7) = (y + '^) — '«t' 



et, par conséquent, si x,y,z désignent les coordonnées rectangulaires 

 d'un point d'une surface (fl) applicable sur(o,j, la surface (2), lieu du 



point ( -^j T7' T. )' ^^^ ""^ surface à courbure totale constante. Ainsi : 



» Le problème de la recherche des surfaces applicables sur un paraboloïde 

 tangent au plan de Vinfini en un point du cercle de l'infini et celui de la 

 détermination des surfaces à courbure totale constante sont deux problèmes 

 qui se ramènent l'un à l'autre. 



» Le système des surfaces (©), (2) et de celles qu'on peut leur adjoindre 

 jouit de nombreuses propriétés géométriques; il nous suffira ici de remar- 

 quer que les asymptotiques de(0) et de (I) se correspondent et qu'au 

 réseau des lignes de courbure de {1) correspond le réseau conjugué 

 commun à (©) et à (0,). 



» Si l'on effectue le changement de variables défini par les formules 



;/ = /??( y. — [5 ) , r =- a -I- p, 



de façon à rapporter (e,) à ses asymptotiques, et si l'on a égard aux for- 

 mules telles que les suivantes 



on voit que lessurfaces, lieux respectif s des points f-^i —-, y) et i-r^, -jg-, -r^ j, 



ne sont autres que les deux surfaces à courbure moyenne constante, associées 

 par 0. Bonnet à la surface (2), et qui sont parallèles à cette dernière. 



