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» A la remarque précédente, relative au théorème de M. Weingarten, 

 et qui est toute spéciale, j'ajouterai encore les suivantes plus générales. 



» Considérons la transformation de surfaces, définie par les quatre 

 équations 



'^ = ^" 

 (■) ' ' 



x—y -' 



--[-(x—yYpq dw 



â "" dy'' 



où p, q désignent les dérivées partielles de z par rapport à x, y et p' , q' 

 celles de z' par rapport à x' , y' , et oij w est une fonction donnée des seules 

 variables œ' , y'. 



» Cette transformation rentre dans la catégorie de celles considérées par 

 M. V. Biicklund, en sorte que z et z' satisfont chacune à une équation aux 

 dérivées partielles du second ordre; il suffit, pour s'en rendre compte 

 a priori, de remarquer que z' ne figure pas dans les équations (') ^'^ ^^^ ^^ 

 l'on prend pour variables Xf=x — y et j, = a; + j à la place de x et y, 

 la lettre y, n'y figurera pas non plus. 



» Si l'on forme l'équation aux dérivées partielles du second ordre qui 

 définit z' en fonction de x' et y' on trouve l'équation bien connue à laquelle 

 satisfait le résultat de la substitution, dans le premier inembre de l'équation 

 d'un plan isotrope, des coordonnées cartésiennes rectangulaires d'un point 

 d'une surface dont l'élément linéaire est déterminé par l'équation 



( 2 ) cls- = du- -\- idv dw = du'- -^ i ^r- du dv -\- -2 ^ dv- , 



^ ou di' 



où u et V désignent les variables indépendantes x', y'. 



» Si l'on forme l'équation aux dérivées partielles du second ordre qui 

 définit z, on trouve l'équation de M. Weingarten 



où les notations sont celles des Leçons de M. Darboux, cette équation étant 

 écrite avec le système de coordonnées tangentielles (a, ^,-'C) pour lequel 

 l'équation du plan tangent à une surface est 



(i - xr^)X + i(i -i- xfj)Y + (x + p)Z = (x - p)^. 



