(745) 

 » Soient 



ce ^ =y ( \^ \i ^2 î ^1 » ^2) • • • î "r/» 

 X.^ =y o \Xf , ^"2 ', Uf, Ctof • • • ! ^r/i 



les équations de définition d'un groupe continu. Cherchons les équations 

 telles que, w (x,, Xn) étant une solution quelconque, il en soit de même de 



1 désignant une fonction indépendante de la solution w considérée. Ainsi 

 posé, le problème est une généralisation d'un problème trailé pour les 

 équations d'Euler et de Poisson par M. Darboux (Comptes rendus, 1882) 

 et par M. Appell (Bulktin des Sciences mathématiques, 1882). 



» liCS conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une équation 

 admette les propriétés précédentes sont, on le voit aisément, que le ds^ 



TT 



attaché à l'équation, et l'invariant —= admettent simultanément les transfor- 

 mations du groupe. Le ds- doit donc être soit de révolution, soit à cour- 

 bure constante, et le groupe a au plus trois paramétres. On ramène ainsi à 

 des opérations connues les calculs à faire pour reconnaître si une équation 

 donnée satisfait au problème précédent. 



)) Par un changement de variables, on peut ramener le ds'' à l'une des 



formes canoniques f{x — y)dx dy, - — _ ., , dxdy,el -=, soit à une con- 

 stante, soit à une fonction de a; — y, soit à une fonction de j' seul. Ce der- 

 nier cas ne se présente que si le ds^ est de la forme dxdy. Employant alors 

 les notations de Legendre, on retrouve les quatre types canoniques déter- 

 minés, d'une autre façon, par M. Lie, pour les équations admettant une 

 transformation de contact infinitésimale (Archiv for Mathematik og Naturvi- 

 denskab, 1 882) : 



A B \ 



(a) s -\ ? ■+ / \- f 



-* — / K-^ — yr y groupe a trois paramètres, 



{b) s-hCyq + z = o, ) 



(c) s + Çl{x-y)q + Z{x-y)z = o, 



(d) s -hY(y)q + z^o. 



groupe à un paramètre. 



» Je donnerai ici les exemples suivants, empruntés à la Physique mathé- 

 matique. 



C. R., 1S97, I" Semestre. (T. CXXIV, N» 14.) 97 



