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 » Étant donné le système 



:£==/i(a7, j,, j2 j«). 



'^=M^' r.. ji j«). 



soit j/i l'intégrale satisfaisant à ce système, qui prend la valeur jj^"' pour 

 X = Xf„ les fonctionsy,, ...,/^, ...,/„ ayant un module maximum M, 

 lorsque x reste à l'intérieur d'un cercle de centre ir^, de rayon a, y,, y^, 

 . . ., yj^, . . ., y^ variant respectivement dans les cercles de centres y''^\ . . ., 



y^"', . . ., j'J"', de rayon b. Si R désigne la plus petite des quantités a et rj» 



à l'intérieur de son cercle de convergence de centre x^, l'intégrale j^ "e 

 peut prendre la valeur u que sur le cercle T ou à l'extérieur du cercle Y 



concentrique à x-n et de ravon — , — r- rr-» 



V 1«-7a-|/ 

 » Enfin, les théorèmes que j'ai donnés dans ma Note du 8 février 1897 



permettent d'établir une distinction entre les fonctions uniformes et les 

 fonctions non uniformes : 



» Soit F(5) une fonction donnée par ses valeurs sur un cercle C de 

 rayon R ; désignons par M son module maximum sur C. Si, pour des va- 

 leurs de :; s'éloignant à l'infini dans une direction a, F(s) tend vers u^ et 

 si l'on peut trouver une quantité u^ différente de u^, telle qu'il y ait au 

 moins une valeur de z, z.^ en dehors d un cercle T concentrique à C et de 



rayon R y's ( i + | — — — r ) qui fasse prendre à F (:;) la valeur ii., : 



)) 1° La fonction F(^) étant uniforme etrégulière à l'infini admet néces- 

 sairement des points singuliers à l'extérieur de C ; 



)) 2° La fonction F(:;) étant uniforme et n'ayant pas de discontinuité 

 à dislance finie en dehors de C admet nécessairement le point à l'infini 

 comme pôle ou point singulier essentiel ; si u, est fini, l'infiui est point sin- 

 gulier essentiel ; 



)) La fonction F (3) n'ayant pas de points singuliers à distance finie ou à 

 l'infini en dehors de C ne peut être uniforme. » 



