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 point singulier essentiel à distance finie, il y a toujours une relation algé- 

 brique . 



» Ce théorème auxiliaire semble avoir été connu de Weierslrass, qui 

 n'en a pas non plus publié la démonstration. 



» Depuis, M. Appel! a publié, dans le Journal de Liowille (1891), une 

 démonstration du théorème fondamental, londée sur les propriéLcs d'une 

 certaine équation fonctionnelle, et où il s'appuyait également sur un théo- 

 rème relatif aux fonctions de deux variables que j'ai démontré dans le 

 Tome n des Acta malhematica. 



)) Je voudrais aujourd'hui : 



» i" Démontrer le théorème auxiliaire ; 



» 2° Donner une troisième démonstration du théorème fondamental. 



» La démonstration du théorème auxiliaire se divise en trois parties : 



» 1° Soient/^ fonctions périodiques F",, F.^, ...,F^,; les zéros communs 

 à ces/) fondions qui sont à l'intérieur du prismatoïde des périodes sont en 

 nombre fini, à moins qu'elles ne forment une infinité continue. 



» La démonstration est calquée sur celle qui montre que les zéros d'une 

 fonction analytique d'une variable sont isolés. 



» 2° Si les fonctions F,, Fo, . . ., F,, dépendent de plusieurs paramètres, 

 et si l'on fait varier ces paramètres d'une manière continue, le nombre des 

 zéros communs, s'il reste fini, demeure constant. 



M On se sert, pour la démonstration, de l'intégrale de Rronecker, de la 

 même façon que je m'en suis servi pour montrer que les zéros communs à 

 p fonctions sont au nombre de p\ (Bull, de la Soc. math, de France, 

 t. XL) 



» Comme conséquence immédiate, si^ quelconques àes p + i fonctions 

 F,, Fj, . . ., F^, F^, , ont des q zéros communs, alors p polynômes entiers 

 en F,, Fo, . ..F^,, ,, l'un de degré K, les autres du premier degré, auront \\.q 

 zéros communs, à moins que leurs zéros ne forment une infinité continue. 



» Soit /j = 3 pour fixer les idées. 



» 3° Soit S un polynôme d'ordre R en F,, F., Fj, F, ; il contient 



^(K-+-.)(R+2KK + 3)(K-f-4) 



coefficients arbitraires. Soient ensuite 



P P P 



n polynômes du premier degré en F,, F^, F3, F^. Considérons une combi- 



