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naison quelconque de ces Ji ])oIynomes deux à deux P, et Py. Considérons 

 (Kg' + i) zéros communs à P, cl à Py. Nous pourrons disposer des coeffi- 

 cients de S de façon que, pour chacune des combinaisons P,-, Py, ces 

 (Ky H- i) zéros annulent également S; cela sera possible pourvu que 



(K+i)(K-f 2)(K+-3)(K + 4) ^ /;(/i-i)(K7 + i) 



)) Alors S, P, et Py ayant plus de Ky zéros communs en auront une infi- 

 nité. Il résulte de là que, si Q, est un polynôme quelconque du premier 

 degré en F,, F,, F3, F^, les quatre polynômes S, P,, Py et Q, auront au 

 moins un zéro commun. 



» Mais alors S, P,- et Q, auront au moins n — i zéros communs, et, si 



(2) n-.>K^, 



ils en auront une infinité. 



)) Donc si Qa est un polynôme quelconque du premier degré, S, P,, Q, 

 et Q2 auront au moins un zéro commun. Donc S, Q, et Q^ en auront au 

 moins n et, par conséquent, une infinité. 



n Donc le polynôme S présente une triple infinité de zéros; donc c'est 

 une fonction uniforme qui s'annule, ainsi que ses dérivées de tous les 

 ordres. Elle est donc identiquement nulle et il y a une relation algébrique 

 entre les F. 



» Il est facile de voir cju'on peut choisir R et n de façon à satisfaire aux 

 inégalités (i) et (2). 



» Le théorème auxiliaire est donc établi; passons à la démonstration 

 nouvelle du théorème fondamental. J'ai dit que M. Appell s'était appuyé 

 pour le démontrer sur une proposition que j'ai établie dans le Tome II des 

 Acla. Mais il suffit de changer peu de chose à la démonstration de cette pro- 

 position elle-même pour que le théorème fondamental s'en déduise immé- 

 diatement. 



» Supposons p = 1 pour fixer les idées. Soit F une fonction périodique. 



» Soient x = l^-\- il.,, j=Ç3 + îç,, et considérons les l comme les 

 coordonnées d'un point dans l'espace à quatre dimensions. Il y aura une 

 variété V à deux dimensions le long de laquelle F s'annulera. Soient diù' un 

 élément de cette variété; E, , l'., ^^ i\ le centre de gravité de cet élément; 

 soit rla distance des deux points l^, L, ^3, H, etT,, Z^, l'.„ l\- Développons 



-^ suivant les puissances des \ et soit H ce qui reste de ce développement 



