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» A une première approximation du calcul de u' , on ponrar même, ici, 

 supprimer le dernier terme double, où figurent les deux dérivées de ct en i 

 cVx. Eu effet, dans le régime graduellement varié que nous considérons 

 actuellement, la perturbation, rs, apportée parla variation de l'écoulement 

 au mode de distribution des vitesses, est censée liée aux changements de n 

 et de U avec x et /, au point de n'être pas d'un ordre de grandeur plus 

 élevé que les dérivées premières de 17 ou U en .t et /; ce qui réduit les dé- 

 rivées analogues de nr à l'ordre de petitesse supérieur des dérivées secondes 

 de c ou de U. Ainsi l'on aura 



» II. Le calcul de u' exigera donc l'emploi non seulement de la fonction 

 connue cp, mais aussi des deux petites composantes transversales c, w de la 

 vitesse; et il faut préalablement déterminer celles-ci. 



» Nous avons donné, à cet effet (p. i r99), la condition d'intégrabilité(i) 

 et l'équation de continuité (2). Il faudra y joindre la relation exprimant 

 que les particules situées à la surflice-limite du fluide et supposées s'y 

 mouvoir avec les vitesses moyennes locales, y seront encore à l'époque i -\-df^ 

 et ce sera même cette relation qui, étudiée la première, nous suggérera la 

 marche à suivre pour traiter la question. 



» Celte partie du problème, savoir, la recherche de cet»', étant très 

 distincte de la précédente, nous ne nous y astreindrons pas à considérer des 

 sections n dépendant d'un seul paramètre fonction de x et /, dans le genre 

 du rayon moyen. Nous y admettrons deux tels paramètres distincts a, h; 

 ou, autrement dit, nous prendrons, comme équation de la surface limite 

 du fluide, une relation de la forme 



(4--) 'K-^.^^-^o, "vec r. = ^il% ^-^-i. 



a, h étant deux fonctions lentement variables, mais quelconques, dexeli, 

 ctyo, z-a les coordonnées, par rapport aux axes fixes âesy et z, du point où 

 l'axe hydraulique perce la section 1 d'abscisse x, coordonnées que nous 

 ne pourrons jias toujours supposer nulles et qui seront, en général, comme 

 a et h, des fonctions lentement variables de x et /. Ainsi, les coordonnées 

 transversales relatives r,, 'Ç seront les quotients de y — j\,, z — z^ par deux 

 longueurs distinctes, a, h, réductibles, il est viai, au rayon moyen dans le 

 cas de sections toutes semblables. Néanmoins, quand il s'agira, même dans 

 ce cas, de sections rectangulaires très larges, nous appellerons a la demi- 



