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 1) Dans son Mémoire sur les fonctions hyperabéliennes {Comptes rendus, 

 17 mars 1884 ei Journal de Liouville. i885), M. Picard a fait la remarque 

 importante, que, en fixant la valeur du déterminant tJ, — -, ,^22 é2;ale à un 

 nombre entier positif D, on isolait du groupe, un sous-groupe composé de 

 substitutions linéaires et a démontré qu'en posant 



'^,,=' — 



^.2=V^f 



^ + : 



les substitutions correspondantes sur les paramètres Ç, y) sont de l'une des 

 formes 



(A) 



ç.-n; 



rt ? + 6 lr\ + m 



c\ 



p-T) 



i)-. w ( 



<i,ri; 



ar, i- b /? + m 



)> 2. En étudiant ce groupe hyperabélien, nous avons établi que, en dé- 

 signant la transformation du premier ordre par 



(0 



d^ 



les substitutions (A) et (B) sont 

 (A) p,,.; 



(B) 



km; 



(«0 



(«0 



h, v/D) î + (ft, + 63 v/D) ' (^'o + b, v/D) r, + (6, - b, v'D) J '' 

 «2V/d)t, +(«1 — 173 \/d) («0— a^y/'^)?— (rti-f-Ojv'D)] 



(bi + /;, \,fD) r, + (b, - 63 \/L>) (^'0 - *2 i/d) ? '- (^1 + ^3 v/D) _ 



les déterminants de chacune de ces deux substitutions étant, en outre, 

 égaux à + I . 



» 3. Les substitutions (A) et (B) forment un groupe dans lequel les 

 substitutions (A) constituent un sous-groupe d'indice 2. Nous avons dé- 

 montré directement que ce groupe est proprement discontinu pour toutes 

 les valeurs de ^ et -/i dont la partie imaginaire n'est pas nulle. Ce résultat 

 est identique à celui qu'a obtenu M. Picard en utilisant la réduction con- 

 tinuelle des formes quadratiques quaternaires. Si D est un carré, la pro- 

 priété est évidente, cnr le groupe se réduit à la superposition de deux 

 groupes fuchsiens. 



» 4. Nous avons établi également qu'on pouvait prendre pour substitu- 



