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« Laissant de côlé le cas particulier de D = 2, il résulte, du Tableau 

 ci-dessus, que les fonctions S se partagent en deux groupements formant 

 chacun comme un système fermé : le groupement (Sr^, "è.,, &„,, r,^), qui est 

 d'ailleurs le quadruplet de Gôpel, et le groupement (Soi. S'a», &4, 2?, o.&aa.^fo)- 

 On peut donc obtenir une infinité de fonctions invariables par les substi- 

 tutions du groupe, en prenant deux fonctions symétriques quelconques des 

 puissances huitièmes des fonctions & d'un même groupement ou des deux 

 groupements, en les élevant à des puissances convenables et en en prenant 

 le rapport. 



» Nous réservons pour une seconde Note, si l'Académie veut bien le 

 permettre, les résultats obtenus dans l'étude des fonctions de ce groupe 

 voisin du groupe modulaire. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur certaines équations analogues aux équations 

 différentielles. Note de M. C. Bourlet, présentée par M. Appell. 



« Soit 5 le symbole opératif d'une transmutation additive Q) donnée; dé- 

 signons par G-, e*, ... les puissances symboliques de cette opération, de 



sorte que 



G''m = 5(g«), g'm = G(5-h), 



Si l'on se donne une équation de la forme 



(i) PotL"'u -hp, G'"-' u + .. . 4-/J,„_, CM +/>,„ii = o, 



on a là une sorte d''équation opérative pour déterminer la fonction incon- 

 nue u, de la variable x, analogue à une équation différentielle linéaire. Les 

 propriétés des équations (i) sont, en tous points, semblables à celles de 

 ces dernières. En pariiculier, dans le cas où les coefficients po . . .p,n sont 

 constants, on obtient m intégrales de l'équation (i), des qu'on connaît 

 une fonction •i^{x, r) vérifiant l'équation 



(2) 5-]/=/-^, 



(') Voir à ce sujet : ma Note des Comptes rendus, du i5 février 1897, et mon 

 Mémoire : Sur les opérations, en général, paru dans les Annales de l'École Nor- 

 male supérieure, avril-mai 1897. 



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