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en donnant à r les m valeurs racines de l'équation 



p,r"'+p,r"'-' + . . . + p,n-, r -+- p,n = o. 



» Il est facile de donner une expression de ^ qui vérifie formellement 

 l'équation ( 2) ; car, soit a^ {x) une fonction de x et construisons une suite 

 infinie dans les deux sens 



.. ., «_o, a_,, t/o' ^1' ^2) • •• 

 de fonctions telles que l'on ait, pour toutes les valeurs de i, 



la série, infinie dans les deux sens, 



(3) '{'=2 '^'i-^)'-' 



répond à la question. Il reste, évidemment, dans chaque cas particulier, à 

 montrer qu'on peut choisir o„(a;) de façon que la série (3) soit conver- 

 gente ('). 



» J'ai appliqué ces généralités au cas où la transmutation e est une sub- 

 stitution, c'est-à-dire où l'on a 



Gu(x) = u\'^(x)\, 



(p(x') étant une fonction de substitution donnée, on a ainsi les équations 

 fonctionnelles étudiées par M. Grévy, dans sa Thèse, et l'équation (2) 

 n'est autre chose que l'équation de Schroder intégrée par M. Kœnigs. Je 

 suis ainsi parvenu à la proposition intéressante que voici, qui fournit un 

 nouveau procédé (^) d'intégration d@ l'équation de Schroder : 

 » S'il existe une racine a de l' équation 



ç(a;) — X =.0 



pour laquelle 1 9' (a) | est différent de l'unité, on peut trouver, dans un domaine 



(') Un premier cas particulier intéressant est celui considéré par M. Pincherle 

 [Suite opérât, distrib. commutabili con una op. data ( R. C. delV Ace. R. d. Se. di 

 Torino, i895)],où il existeau moins une fonction a„{u:) vérifiant l'équation Goo^o; 

 dans ce cas, les «,à indices négatifs sont toutes nulles et Ton n'a plus qu'une série in- 

 finie dans un sens. 



(^) Ce procédé avait déjà été indiqué par M. Appell dans deux cas particuliers : 

 Comptes rendus, 21 avril et 19 mai 1879. 



