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convenable, une fonction a^^Çx), contenant une fonction arbitraire, telle que la 

 série ( 3 ) soit convergente : pour\r\<C^\, lorsque | <p' ( a ) | <[ i , et pour | r ] >■ i , 

 lorsque \ <p'(rt) | !> i. on en déduit facilement, dans tous les cas, une inté- 

 grale de l'équation (2) pour toute valeur de r. 



» Les équations (i) ne sont qu'un cas très particulier d'équations opé- 

 ratives plus générales où l'on se donne une relation de forme quelconque 

 entre a:*, u, 5m, ..., E"'w. Je me suis demandé quelles sont les transmuta- 

 tions additives s pour lesquelles on pourrait établir une théorie analogue 

 à celle des équations différentielles ordinaires, et un examen approfondi de 

 la question m'a montré qu'il fallait, pour cela, que cette opération G soit 

 telle que la transmuée d'un produit î^uv de deux fonctions arbitraires puisse 

 s'exprimer, uniquement, au moyen de u, c, su et Gc. J'ai pu déterminer 

 toutes ces transmutations et je suis arrivé à la conclusion qu'il n'y a que 

 les deux classes suivantes, déjà signalées par M. Pincherle ( ' ), qui répon- 

 dent à la question : 



» 1° Si l'on a 



du , 

 ^u^ a-j — h ou; 



» 2" Si l'on a 



Gm = CM[(p(a;)] + ku, 



où a, b, c, k désignent des fonctions de x, et (p(^) une fonction de substi- 

 tution. La première catégorie donne les équations différentielles et la 

 seconde les équations fonctionnelles itératives citées plus haut. Donc, les 

 seules équations opératives dont la théorie puisse présenter des analogies avec 

 celle des équations différentielles ordinaires sont les équations fonctionnelles 

 itératives. Le parallélisme frappant qui existe entre les théories de 

 MM. Grévy, Leau et des auteurs qui se sont occupés de ces équations 

 fonctionnelles et celles des équations différentielles s'explique ainsi tout 

 naturellement. » 



Observations sur la Communication précédente, par M. Appela. 



« Dans la Note qu'il a présentée à l'Académie le i5 février 1897, et dont 

 il développe aujourd'hui quelques conséquences intéressantes, M. Bourlet 

 poursuit ses recherches dans une voie que M. Pincherle, professeur à 



(^) S. PiNcnEHiE, Rendiconti délia /?. Ace. dei Lincei, 2 mai 1897. 



