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)) Je vais indiquer une classe assez étendue de forces vives (ou, ce qui 

 est le même, de ds-) à trois variables, qui ne sont pas réductibles à la 

 forme de M. Staeckel, ni à la forme 



(forme de M. Painlevé), quoique leurs géodèsiques admettent une inté- 

 grale quadratique. 



M Prenons des variables canoniques x\ , x- , x'-^^, x',^ (i = i, 2, 3), et cher- 



chons les forces vives R^e^^ a<"'/?,./?„ telles que H,^e2/7,/72= const. 



1 

 soit une intégrale pour les géodèsiques. En exprimant que le crochet (HH,) 

 s'annule identiquement, on trouve pour les a^'^^ des équations qui s'intè- 

 grent immédiatement et donnent 



1 a(") = (pa-; + 9, + 'î, a''--^ = ^xl-ho,x,~h^, «''=" = ?3, 



/ a!'2> = — fx,x.,— -(o.x, +9,^0)4-90, 



où l'on désigne par 9, i}-, 9i, •••- ?g. '^. ^ des fonctions de la variable a;,. 



» Il s'agit de prouver que [les a"""' ayant les valeurs (2)] H ses ^ a^"''PrPs 



1 

 ne peut pas, en général, acquérir la forme (i) : il suffira évidemment de 

 développer la démonstration pour un cas particulier de (2); je prendrai 



H =(cx; -!- 'i:)p] -+- {cxl + •^)pl +p\ — icx,x,p,p.,, 



c étant une constante. 



» Faisons voir avant tout que les géodèsiques de H n'admettent ( lorsque 

 les fonctions (i? et ^de x^ demeurent indéterminées) aucune intégrale qua- 

 dratique distincle de H = const., H, = const. Pour cela, nous partons de 



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l'hypothèse que Ho^^^ oc'"'/?,./j, = const. soit une intégrale. On doit avoir 



1 

 (HH2)^^o, c'est-à-dire 



(5) ^=K---'""-^^)' 



