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 et donnent successivement 



^,oc"" + 'U],3[A-,(A4-2c)]^oc('^'+£3a?,(^-t-2c)^ + ®3^['^.(A + 2c)]ûc(")-HW3 = o, 



Jl=5«""+ aft„[a7,(A + 2c)] = a"^'+ e,x,(A + 2c) ^ + W, = o, 



chaque Xi contenant assurément la dérivée d'ordre i de ^S. 



» Dérivons encore une fois l'équation a'"' = — -^; il viendra, à cause 

 de (4), 



» Comme a''*^' est indépendant de x.,, les coefficients des diverses $<" 

 doivent s'annuler séparément, ce qui exige, par exemple, Wj = o ; il reste 

 alors 



a',Aa('"-'f^ = o, d'où^ ^,Aa('^)=o, ^=0; 



» D'après cela, en appliquant aux équations (4), (6), (8) f dont la pre- 

 mière se réduit à -^ — = o ) un procédé tout à fait analogue, mais bien plus 



simple, on obtient «.''"'^o; de môme, les (5), (7), (9) conduisent à 

 a'*') = o, Dès lors, on achève sans peine la détermination des a'"' et l'on 

 trouve que H, se présente nécessairement comme une combinaison linéaire 

 (à coefficients constants) de H, H,. 



» Observons maintenant que les invariants algébriques du couple H, 



H., c'est-à-dire les racines '^^''''f^J^^S^^^T^ ^' ° '^^ Xéc,u^^:^on 



— S(ca7^-l- a') \+$cx^x.i o 



\-\- ■ècx^x^ — S(ca;^-i-^) o =0, 



G O - S 



sont distinctes. 



» Nous pouvons désormais démontrer que H n'est pas réductible à la 

 forme (i). En effet, lorsqu'une force vive admet une telle forme, ses géo- 

 désiques possèdent une intégrale quadratique du type indiqué par M. Pain- 

 levé (' ), et alors deux des invariants algébriques coïncident, pendant que 



( ' ) Comptes rendus, i " février 1 897 . 



