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 une certaine région R du plan, et si de plus cette fonction croît toujours 

 avec u, il n'y aura qu'une seule intégrale de l'équation, continue dans un 

 contour et prenant des valeurs données sur ce contour. J'ai indiqué com- 

 ment on pouvait faire la recherche de celte intégrale, dans le cas où la 

 fonction F est toujours positive; en réalité, la même méthode est applicable 

 quand F peut s'annuler. C'est ce que je vais montrer, en profitant des 

 perfectionnements que j'ai apportés récemment dans l'exposition de ces 

 méthodes (^Journal de Math., 1896). 

 » Nous partons de l'équation 



(0 ^u-=Y{u,x,y) (|a«=:0 + ^). 



» Nous ne nous arrêtons pas sur le point que le problème peut être 

 résolu par approximations successives si le contour est suffisamment petit, 

 je veux dire quand l'aire enveloppée par le contour est suffisamment pe- 

 tite. La seule question à examiner est comment on pourra étendre de 

 proche en proche le champ d'intégration de manière à avoir un contour 

 quelconque dans la région R. Nous employons à cet effet le procédé al- 

 terné, mais dans les conditions indiquées (^loc. cit., 1896), c'est-à-dire en 

 passant d'un premier contour à un second contour enveloppant une aire 

 plus grande. 



» Toute cette analyse repose sur un lemme analogue à celui que nous 

 avons employé pour les équations linéaires et que nous allons rappeler. En 

 nous bornant aux seules équations de la forme 



(2) ^u=p{x,y)u [p{oc,y)>o], 



considérons une aire limitée par deux courbes C et C, et soit une intégrale 

 continue u s'annulant en tous les points de C, et prenant sur C des valeurs 

 comprises entre — ^ M et 4- M. On peut, étant donné un point A à l'inté- 

 rieur de l'aire, trouver un nombre q inférieur à l'unité, tel que l'on ait 



|"a!<M9. 



et il est essentiel de remarquer que l'on peut prenilre pour q le nombre 

 correspondant à l'équation de Laplace 



ù^u — o. 



M Ce lemme s'étend immédiatement à l'équation 



Aw = F (h, X, y) 



