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 variables, in fois périodiques, et en a donné une nouvelle dcmonstratiou 

 extrêmement intéressante. Dans la démonstration que nous avions donnée 

 autrefois, M. Poincaré et moi, nous considérions des intégrales simples de 

 différentielles totales relatives à une certaine surface, et c'est de là que 

 nous tirions les relations nécessaires entre les périodes. La considération 

 des intégrales multiples conduit à envisager cette question sous un nou- 

 veau point de vue ; c'est ce que je vais montrer succinctement. 



» Bornons-nous à « = 2, et prenons trois fonctions x, y, z quadruple- 

 ment périodiques de u et v avec le Tableau de périodes 



<0,, tO^,, OJ3, co,. 



» Nous avons alors la surface algébrique 



f{oc,y,z) = Q, 



dont le genre géométrique est égal à l'unité; soit son intégrale double de 

 première espèce représentée par 



Ç r q[œ,y.z)dxdy 



)) D'autre part, le nombre p., relatif à la connexion à deux dimensions de 

 la surface/est égal à sept. L'intégrale double (i) a les /^^ — '» c'est-à-dire 

 les six périodes 



tOjCo'^. — lù^oi'. ( ï, ^ = 1 , 2, 3, 4)- 



» Considérons maintenant sur la surface/ le continu uni C fermé à deux 

 dimensions (réelles) correspondant à une courbe algébrique arbitraire 

 tracée sur la surface. L'intégrale (r) prise le long de ce continuum sera 

 évidemment nulle; mais il faut nécessairement que le continuum C se 

 ramène à une somme de multiples des six continuums donnant les six 

 périodes de l'intégrale double. On aura donc une relation de la forme 



i.k 



les m étant des entiers qui ne sont pas tous nuls; c'est précisément la rela- 

 tion que l'on voulait mettre en évidence. » 



