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M Or, on voit que celte dernière quantité, multipliée par ^/yîé^ et intégrée 

 dans toute l'étendue de la section type, se convertit en une intégrale de 

 contour, à élément nul en vertu de ( 48 ). Elle a donc bien zéro pour valeur 

 moyenne; et, comme il résulte, d'autre part, de ( 5i) et (12), ou de l'an- 

 nulation de l'ensemble des deux premiers termes de (5o), que 



la valeur moyenne considérée devient celle de 



(57) - ^/ic(r- '- 9"'y 



» Par suite, l'expression (56) de u' donne immédiatement, en désignant 

 encore par le symbole 3HL la valeur moyenne, sur toute l'étendue c, de la 

 quantité écrite à la suite, 



(58) or.(cp"'-' u') ^ ^011./' + u;^Dii.'/"- - iL ^;(oiu."-' - 01^.?'"). 



)) Dans les deux cas où m = i et où m = -2, les valeurs moyennes de ç'" 

 et <p'"^' sont respectivement celles de tp, ©- et cp', c'est-à-dire, pour la pre- 

 mière, l'unité, et, pour les deux dernières, les quantités que nous avons 

 appelées 1 + -/1, a, mais réduites tout de suite à leurs valeurs de régime 

 uniforme. Et alors les équations (17), (18) régissant le mouvement gra- 

 duellement varié, dans lesquelles (u-)' n'est autre que luu' ou, sauf 

 erreur négligeable, 2U<pw', prennent les formes (23), (26) simplifiées, 

 auxquelles nous étions parvenus autrement. 



» III. L'importance de <!' se trouvant ainsi très diminuée par le double 

 fait que cette fonction s'annule dans les deux formes les plus intéressantes 

 de section et s'élimine (à une première approximation) des équations défi- 

 nitives du mouvement en I, g, U, Wo» nous nous contenterons de former 

 l'équation indéfinie en <V dans l'hypothèse d'un régime permanent, avec 

 axe hydraulique rectiligne, c'est-à-dire avec j'„ = o elzo = o. Alors les 

 accélérations latérales v', w' se réduisent aux produits des petites dérivées 

 de v,w en X par u ou, très sensiblement, par Ucp. Or les expressions (4^) 

 de V, w sont elles-mêmes, vu (54) et la première (02), 



/" \ t-! ( da d<i>\ tifdh y , d'P 



(09) , = uU-cp^ + a^j, ,v=U(^^-9!:-/^^ 



