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 placées, à centre commun situé sur l'axe hydraulique (•/) = 0,^ = 0) du 

 courant, ellipses ou h\perboles suivant que les deux dérivées secondes de 

 a et h en .r auront ou n'auront pas même signe. 



» On ne connaît, pour les écoulements tourbillonnants étudiés ici, que 

 les deux cas de sections circulaires (ou demi-circulaires) et de sections rec- 

 tan£;ulaires larges, où les courbes d'égale vitesse dans le régime uniforme 

 soient ainsi des coniques; et même, dans le second cas où (p ne dépend 

 effectivement que de ^ ou de "Q , la variable de ç exigée par (64), qu'on 



peut supposer être X,^ 4- 'rjrrri^ ■, ne se réduit à X? que si le produit aa!' égale 



une fraction négligeable de hh' , c'est-à-dire seulement dans l'hypothèse 

 d'une largeur 2a très sensiblement constante. Ainsi, dans un canal à lar- 

 geur très grande, mais variable, les expressions (Sg) de v, w ne se rédui- 

 sent pas à leurs premiers termes, simples, comme on aurait pu l'es- 

 pérer ('). 



» Mais il reste le cas extrême de parois assez polies pour qu'on puisse 

 écrire approximativement 9 = 1, c'est-à-dire supposer tous les filets fluides 

 à peu près également rapides; cas où l'équation (61), ayant son second 

 membre négligeable, admet pour solution <I> = o et, par suite, <I» ^ o. 

 Donc, alors, pour toute forme de section, c, w dépendent linéairement, 

 d'après (59), des coordonnées transversales yi, ^. C'est ce que nous verrons 

 bientôt plus complètement (-). 



» VI. liornons-nous maintenant à la supposition de sections n toutes 

 semblables, pour laquelle seule, sauf le cas particulier ci-dessus de rec- 



(') Toutefois, si les courbures des filets fluides, ou les accélérations latérales i>', iv', 

 devenaient assez petites pour que leur influence s'abaissât à l'ordre de petitesse des 

 termes non linéaires négligés dans notre analyse, tous les résultats basés sur nos 

 équations (i) et surtout (61) seraient évidemment illusoires, la vraie équation en * 

 devenant beaucoup plus compliquée. 



(') Dans le cas opposé de parois assez rugueuses (ou d'une valeur de B„ assez 

 grande) pour annuler t< et ç à la paroi comme dans les mouvements bien continus, 

 l'éciuation (61), développée en cfTectuant les diflerentiations indiquées à son premier 

 membre, ne laisse subsister aux parois que les deux termes où figurent les dérivées 

 premières de <p en t), t, multipliées par celles de *'. L'annulation d'une de ces der- 

 nières entraîne donc celle de l'autre; et la condition 'l>'=o, d^'=:o, le long du contour, 

 y donne en tous sens «?<!>' = 0, puis * = o, au sein de la couche mouillant la paroi. 

 Autrement dit, et vu les formules (Sg), les deux conditions distinctes r = o, (*■ r= o se 

 trouvent d'elles-mêmes vérifiées dans cette couche, comme il le fallait bien physi- 

 quement. 



