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» Il existe, eneffel, des surfaces jouissanl des jiropriélés que nous ve- 

 nons d'indiquer et possédant un nombre quelconque de nappes infinies. Si 

 ce nombre est égal à un on à deux (en supposant que l'ordre de connexion 

 de la surface ail la même valeur), la distribution des gcodésiques est la 

 même que sur le paraboloïdc hyperbolique ou riiyperboloïdc à une nappe. 

 Mais il en est tout autrement quand l'ordre de connexion est supérieur à 

 deux, la surface admettant alors une infinité de types de contours fermés ir- 

 réductibles les uns aux antres par déformation continue. On arrive alors à 

 des conséquences extrêmement curieuses que nous allons résumer, en sup- 

 posant toutefois que les nappes à l'infini sont évasées, c'est-à-dire présen- 

 tent la forme générale d'une nappe d'hyperboloïde (et non, par exemple, 

 d'un cylindre). 



» La méthode repose sur l'impossibilité de mener entre deux points 

 deux géodésiques réductibles l'une à l'autre et, d'un point à une géodésique, 

 deux géodésiques normaIes[^réductibles l'une à l'autre. 



» Ce point acquis, on constate qu'à chaque type de contours fermés 

 corres]>ond une géodésique fermée (la plus courte ligne du type) vX une 

 seule, de sorte que les géodésiques fermées forment une infinité dénom- 

 brable. 



» Une seconde catégorie de géodésiques est formée de lignes asymptotes 

 aux géodésiques fermées. 



» Une troisième catégorie comprend les lignes qui s'éloignent à l'infini, 

 ce qu'elles font d'ailleurs régulièrement, c'est-à-dire sans alternative de 

 retour à distance finie ('). 



M II existe des géodésiques qui ne rentrent dans aucune des catégories 

 précédentes : les lignes qui appartiennent à cette quatrième espèce s'ap- 

 prochent d'une géodésique fermée I.,, avec apparence asymptotirpie, puis 

 s'en éloignent à nouveau pour faire de même avec une autre géodésique 

 fermée plus compliquée L., et ainsi de suite indéfiniment. 



)i Avec cette quatrième catégorie, la classification est complète : elle 

 comprend toutes les géodésiques possibles. 



» Si maintenant nous envisageons les géodésiques qui parlent d'un point 

 déterminé O de la surface, nous constaterons que les tangentes à celles 

 qui s'en vonl à l'infini forment une infinité d'angles, tous extérieurs les 

 uns aux autres et, bien entendu, de plus en plus petits. 



(') Pour expliquer plus clairement noire locution, la fonction y^kx est dite 

 dans cette manière de s'exprimer, augmenter indûfîniment régulièrement avec x, 

 par opposition avec la fonction y — /.xsin.r ou autres analogues. 



