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niques que l'on obtient en laissant successivement constants \ et y.. Elle a 

 été, comme on sait, rencontrée, pour la première fois, par M. Darboux, en 

 1881, puis étudiée de nouveau, en 1888, par M. Rœnigs, qui a consacre, 

 en outre, en 1889, une Note particulièrement digne d'attention au cas où 

 les coniques des deux familles sont des cercles. 



)) Je me suis proposé de faire une étude systématique et détaillée de la 

 surface F : toute la difficulté se concentre d'abord, comme cela a lieu d'une 

 façon générale pour les surfaces représentables sur le plan, sur la recherche 

 de la courbe lieu des points multiples. 



» Or, la considération de l'espace à quatre dimensions permet d'effec- 

 tuer cette recherche d'une façon simple, et même de présenter l'étude de 

 la surface F comme une application directe et intéressante de la théorie, 

 dont les bases ont été posées, en 1870, par M. Darboux ('). Des systèmes 

 linéaires de surfaces du second ordre. 



» Remarquons, en effet, tout d'abord, que l'on peut substituer à la dé- 

 finition de F, par les formules (i), la suivante qui s'était offerte en premier 

 lieu à M. Darboux : la surface F est le lieu d'un point dont les coordon- 

 nées homogènes cr,, x^, x^, x,,, s'expriment par les formules 



(2) ^Xi =i/i(r,,, r,.,, r,,, -ri,), 



où les/", sont des formes quadratiques des quatre paramètres •/),, r,2, r,.,, 7;,, 

 liés entre eux par la relation 



(3) ri'; -+--n't-+-r,l ■+■■1)1 = 0.. 



» Cette nouvelle définition donne bien une surface F, comme on le 

 voit, avec M. Darboux, en exprimant les coordonnées -n,, r,^, v;^, r^ d'un 

 point de la quadrique (3) sous forme de fonctions homogènes et du second 

 degré de trois paramètres. 



» Inversement, si l'on part des formules (i), et si l'on effectue le chan- 

 gement de paramètres défini par les formules 



1 = X -h yi, [J. = X — yi. 



(') G. Darboux, Sur les systèmes linéaires de coniques et de surfaces du second 

 ordre {Bulletin des Sciences mathématiques, i" série, t. I, p. 348-358; 1870). Les 

 résultats contenus dans ce travail ont été partiellement développés depuis, avec quelques 

 compléments intéressants, par M. Th. Raye {Journal de Borchardt, t. 82, p. 54-83; 



1877). 



