( I007 ) 



réglée du dixième ordre R,(,, envisagées par M. Darboiix àla fin dn Mémoire 

 que nous avons cité plus haut. 



» Aux différents cas particuliers présentés par le système linéaire du 

 quatrième ordre défini par les cinq quadriques /,• = o, correspondent des 

 variétés V particulières ; l'étude des différents cas qui se présentent dans 

 l'intersection de chacune de ces variétés V et d'un espace linéaire à trois 

 dimensions donne donc, en définitive, une classification intéressante des 

 surfaces de l'espèce F, 



» Le cas particulier suivant mettra en évidence la complication de 

 l'étude de la variété V. 



» Trois formes quadratiques de quatre variables ne peuvent pas, en gé- 

 néral, ainsi que l'a signalé pour la première fois M. Darboux dans le Mé- 

 moire déjà cité, être représentées par des expressions formées linéaire- 

 ment avec les carrés de cinq mêmes formes linéaires. Le cas où il en sera 

 ainsi pour les cinq formesy] des équations (\) est donc extrêmement par- 

 ticulier. Envisageons-le ou, si l'en veut, supposons que les cinq quadriques 

 fi = soient les polaires d'une même surface du troisième ordre par rap- 

 port à différents points de l'espace. La variété V sera la transformée homo- 

 graphiquede celle qui est définie par les équations 



pxi = Pj, 



où les P, sont des formes linéaires de quatre paramètres. 



» Les surfaces F qu'on déduit de cette variété sont, en général, définies 

 par une équation de la forme 



v/x; + v/x: + v/x; + v/x; + s/x; = o, 



où X,, Xj, . . .,Xg sont des formes linéaires des quatre coordonnées homo- 

 gènes d'un point de l'espace. 



» La sur/ace (ài huitième ordre, cludiée récemment par M. Alberto Bram- 

 billa ( ' ), constitue donc, on le voit, un cas particulier des surfaces F envisagées 

 par MM. Darboux et Kœriigs. 



» J'ajouterai, en terminant, que ce qui précède ne constitue pas la seule 

 façon intéressante d'introduire dans l'étude de la surface F la considération 

 des espaces à plus de trois dimensions ; il est bien clair que la méthode des 

 projections, inaugurée par Clifford et par M. Véronèse, et si heureuse- 



(') Alberto Bra:>ibu.la, Sopra iina famiglia di sitijerficie dell' ottavo ordine : 

 Nota prima {Giornale di Matematiche, t. XXXV, p. i-ai; 1897). 



C. R., 1897, I" Semestre. (T. CXXIV. N" 19.) '^' 



