( lOCf) ) 



» Pour la valeur particulière de la constante g = i, cette formule prend la 

 forme limite 



(4) 



formule que l'on peut encore écrire sous cette autre forme 



{[\bis) [ 



I =4--.(^.;^)-vT-T.r,(-^/---)], 



dont on remarquera l'analogie avec celle dite cle l'échange de l'amplitude et 

 du paramètre pour la fonction elliptique de troisième espèce. 



» Disons tout d'abord que l'on passera de la formule générale (2) à la 



formule limite (4 bis) de laquelle on passera à la forme (4) en transfor- 

 mantles définitions (i) par le moyen de la substitution z = - , en ob- 



servant, d'ime part, que pour l'hypothèse 0-=: i, sn(A| , ^"i) et sn(/i^, k^^ étant 

 d'après (3) l'un et l'autre infinis, A, et h^ devront être considérés alors 

 comme égaux, l'un à t K', , et l'autre à i¥J., ; et d'autre part, que la définition 

 de la fonction 11(9, h, k) donnant en général, pour h = jK', 



si l'on applique cette formule successivement aux deux produits 



y/i — g--n(9,, A,, i(-,) et v'i — ^-n((p2, A., /i-.), 



l'on trouvera sans peine 



IimJ2Jvi — ^-[n((p,, h.,, k.,) — n(ç,. A,, k,')]\g^, = 2.i{x(fn — \'i — A-<p,). 



» Cela dit, le Lecteur trouvera, dans le Tome XXI des Annales de la 

 Société scientifique de Bruxelles^ le développement, in extenso, d'une dé- 

 monstration par voie de différentiatiou (ou a posteriori) desdites formules, 

 trop longue et trop compliquée pour pouvoir être indiquée ici, même en 

 termes sommaires. Nous nous bornerons donc à signaler la circonstance 

 heureuse à laquelle est due la possibilité de son succès. 



