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» Faisant, pour abréger, n((p,, /«,, ^-j ) = n, et 11(90, Aj, Z^) = Hj, et 

 désignant par J le second membre de la formule (2) en question, l'on a 



(5) , = .,V7^.(o.-n,). -, = ..vT^[^(t)-|^(^)]. 



» Or, comme en général la fonction U((f,/i,k) devient, en y faisant 



sn(ç, A) = t, 



. , f^_ f' k^sn h en h dn ht- dt 



U{<f,/l,A)-J^ ,_;.,„./,,. ^/ (._,.)(._^.,.) > 



en appliquant celte transformation aux deux fonctions II, et IIj, pour 

 laquelle on a, d'après les définitions (3), 



l'on trouvera, X", et h, étant indépendants de ce, et k., et h., de k, simplement 



an, _ A'J sn(/i,,A|)cn(/i, ,/.-,) dn(/i,, /.-,) ' àa; 



d:v ~ i — k]sn-(hi,ki)tl y/(, _ ^j)(i _ A-jfff) ' 



dïi^ A-^sn(/i2, A-.2)cn(/i2, /i2)dn{/i2, A-2) ' d/c 



àk ~ i~k\iv}{h^,k^)tl ^i^i_tl){i — kltl) 



valeurs dont le calcul explicite est facile en partant des définitions (3) 

 et (6); et dès lors celui de leurs dérivées premières -jr (-y^ ) ^'' T^ (")f)' 

 ou plus exactement de la différence de ces dernières dérivées, devient ainsi 

 praticable effectivement en vue de la substitution dans l'expression (5) de 



) tandis que le calcul des mêmes quantités eût été enfuit irréalisable, 



pa^excès de complication, si ç,. A,, X,, ou ç., h.,, k^, eussent dépendu à la 

 fois, soit de x, soit de k. Et c'est ainsi qu'on peut parvenir, pour la dérivée 



seconde précitée -j — -rr» à une expression identique à celle que l'on obtient 

 immédiatement pour la dérivée analogue -^ — jr, en désignant par I le pre- 

 mier membre de la même formule : d'où l'on conclut ensuite très aisé- 

 ment la condition nécessaire 1 = J, c'est-à-dire précisément la formule (2) 

 qu'il s'agissait d'établir. 



» Les formules limites (4) ou (4 bis) se démontreraient de même, à 

 l'aide d'un calcul analogue, mais beaucoup plus simple. » 



