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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'intégration algébrique des équations 

 différentielles linéaires du troisième ordre. Note de M. A. Boulanger, pré- 

 sentée par M. Emile Picard. 



« Soit l'équation à coefficients rationnels 

 (i) y"-f-3aj'"4-3è/ + ej = o. 



» Les quotients 



u = -^, v = -^, 



de trois intégrales linéairement distinctes de (i) vérifient un système de 

 deux équations différentielles du quatrième ordre, système formé autrefois 

 par M. Painlevé {Comptes rendus du 27 juin 1887) et que j'écris ainsi : 



/ .(d'y of/"-+-D . „ , i\ 



I af'^'Y r^'(^"-t-3D) D' ,. / « ,x o , ,, , 



( ^\d) ~^~^^ ^ + 9^ = 27[-2a(a='4-a')-t-3a6 + 6'-cl. 



en posant 



d = U' V" - U" V, D = U" V" - U'" V". 



» On a d'ailleurs 



y^gS/arfx^COjjSt. 



» La condition nécessaire et suffisante pour que l'intégrale générale 

 de (i) soit algébrique est que a n'ait que des pôles simples à résidus 

 commensurables et que l'intégrale générale de (2) soit algébrique. 



» Si l'intégrale générale de (2) est algébrique, les diverses valeurs de 

 U(a7) et y (^x), pour x donné, forment un groupe fini de substitutions 

 linéaires; et si l'on remplace, dans les fonctions fondamentales invariantes 

 d'un tel groupe, les variables par U(;r) et V(a;), on obtient deux fonctions 

 rationnelles de x, soit 



/(U,V) = P(^), ^(U,V) = Q(^); 



la réciproque est exacte (Painlevé, lac. cit.). 



)) Si dans le système {1) on exprime V et V en /onction deP et Q à l'aide 

 de ces relations, on obtient un système de deux équations différentielles du 

 quatrième ordre en P ei Q, à coejficients rationnels en V et Q] j'ai formé ce 



