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GÉOMÉTRIE . — Sur les courbes dont les tangentes appartiennent à un complexe. 

 Note de M. A. Demokliiv, présentée par M. Darboux. 



« Soient D une droite appartenant à un complexe quelconque, et O un 

 point pris arbitrairement sur cette droite. Considérons les courbes C dont 

 les tangentes font partie du complexe et qui touchent en O la droite D. 



» Il existe, en général, la même relation linéaire entre la courbure et la 

 torsion de chacune de ces lignes, au point O. 



)) Pour le démontrer, soit/(a, (3, y, p, q,r) = o l'équation du complexe 

 par rapport à trois axes rectangulaires Ox, Oy, Os, l'axe Oz coïncidant 

 avec la droite D. Exprimons les coordonnées d'un point quelconque de 

 l'une des courbes C en fonction de l'arc s de cette courbe; les coordonnées 

 de la tangente en ce point seront 



c. = x', p=/, r = 2', p = yz'—^y'^ 



q = zx' — xz , r = xy' — yx' , 

 et l'on aura 



f{x', y, z, yz' — zy , zx — xy' , xy' — yx') = o. 

 )) Prenons les dérivées première et seconde de cette équation, il viendra 



» A l'origine des coordonnées, ic^ = o,v|, = o,s^ = I, s'^ = o, (^j = 

 et les équations ci-dessus se réduisent à 



(=)(af)<-ai)/>(i).<-(i'/-i)/:-(i). 



» Envisageons maintenant les divers cas qui peuvent se présenter. 

 .. \° La droite D n'est pas singulière. — L'équation (i) montre que toutes 

 les courbes C ont, au point O, même plan osculateur, ce qui est bien 



x„ — o. 



