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» Une congruence est cyclique, si elle est formée par les axes de cercles 

 normaux à une infinité de surfaces. 



» Il résulte de tous les travaux qui ont été faits jusqu'ici les propriétés 

 suivantes : 



» La propriété caractéristique d'un réseau cyclique est d'être harmonique à 

 une congruence de normales. 



» La propriété caractéristique d'une congruence cyclique est d'être harmo- 

 nique à un réseau de lignes de courbure. 



» Cela posé, soient (C) un système cyclique, (O) le système cyclique 

 point correspondant, AB une congruence de normales harmonique à (C); 

 (O) sera harmonique à une congruence RS parallèle àAB; RS sera donc 

 une congruence de normales. D'où le théorème suivant : 



» Les réseaux cycliques points s' obtiennent en joignant un point fixe aux 

 centres de courbure d'une surface. 



» Je vais indiquer deux applications de ce théorème : 



» 1° Trouver les surfaces dont les centres de courbure sont vus d'un point 

 fixe sous un angle droit ( ' ). 



» Soient O le point fixe, R et S les centres de courbure d'une surface 

 cherchée, Oj et O:; les droites OR et OS, Ox la normale au plan jO^. Le 

 réseau point jO^ est à la fois cyclique et orthogonal : donc (théorème de 

 Bonnet) Ox est la représentation sphérique d'une surface à courbure totale 

 constante. 



» La congruence RS, étant harmonique au réseau orthogonal yO:;, est 

 une congruence cyclique; elle est d'ailleurs, par hypothèse, congruence 

 de normales. Donc, d'après le théorème de Bonnet : 



)i Les surfaces cherchées ont même représentation sphérique que les surjaces 

 à courbure totale constante. 



» Inversement, si O^r est la représentation sphérique d'une surface \\ 

 courbure totale constante, il existera dans le plan jO:; un cercle (il y en a 

 même une infinité, mais ils se déduisent de l'un d'eux) normal à une série 

 de surfaces. Toutes ces surfaces satisfont à la question posée. On les obtient 

 par la résolution d'une ! équation de Riccati. Si donc l'une d'elles est 

 connue, les autres s'en déduisent par quadratures. 



j) Remarquons maintenant que la congruence polaire réciproque de RS 

 par rapport à une sphère de centre O jouit des mêmes propriétés que cette 

 congruence. On voit alors comment, d'une surface satisfaisante, on peut, 



(') Dabbolx, Leçons sur la Théorie des surfaces, \\^ Partie, n° 1073. 



